Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä.^[1] sovelluksena integraalilaskentaan.

Jos ${\displaystyle u=u(x)}$ ja ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$, kun taas ${\displaystyle v=v(x)}$ ja ${\displaystyle dv=v'(x)dx}$, osoittaisintegrointisäännön mukaan on

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}$

Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa

${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$^[1]

Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli.^[1] Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.

Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.^[2][3]

Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun u(x) ja v(x) ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:

${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\ =\ v(x)u'(x)+u(x)v'(x).}$

Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan x:n suhteen:

${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$

ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:

${\displaystyle u(x)v(x)\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$

missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava osittais­integroinnin kaava:

${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$

mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon ${\displaystyle \ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad }$

${\displaystyle \int u(x)\,dv\ =\ u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$^[1]

Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, x = a ja x = b, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$

Alkuperäinen integraali ∫ uv′ dx sisältää derivaatan v′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä v':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ vu′ dx.

Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot u ja v ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että u on absoluuttisesti jatkuva ja v:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva.^[4] (Jos v:llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio v ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)

Jos integroimisväli ei ole kompakti, u:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä v:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa u ja v ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos

${\displaystyle u(x)=\exp(x)/x^{2},\,v'(x)=\exp(-x)}$

u ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$

mikäli ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }$:n katsotaan tarkoittavan lausekkeen ${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$ raja-arvoa, kun ${\displaystyle L\to \infty }$ ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan ${\displaystyle v(x)=-\exp(-x).}$ Samoin jos

${\displaystyle u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$

v′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$

samoilla edellytyksillä.

Vastaavia esimerkkejä, joissa u ja v eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.

Lisäksi jos funktio ${\displaystyle f(x)}$ on rajoitettu välillä ${\displaystyle [a,b],}$ ja ${\displaystyle \varphi (x)}$ differentioituva välillä ${\displaystyle [a,b],}$, on

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }(x)\,d({\widetilde {\chi }_{[a,b]}(x){\widetilde {f}(x)),}$

missä ${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}(x))}$ tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$, ja funktiot ${\displaystyle {\widetilde {f},{\widetilde {\varphi }$ ovat ${\displaystyle f,\varphi }$

n laajennuksia koko ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$:ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.

Kolmen funktion, u(x), v(x), w(x), tulolle saadaan vastaava tulos:

${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$

Yleisemin n funktion tulolle pätee:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$

mistä saadaan

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$

Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (x, y) = (f(t), g(t)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:

${\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))}$

${\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}$

Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on

${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}^{y_{2}x(y)\,dy}$

ja punaisella merkityn

${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}^{x_{2}y(x)\,dx}$

Näiden summa A₁ + A₂ on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, ${\displaystyle x_{2}y_{2}-x_{1}y_{1}$, toisin sanoen:

${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}^{y_{2}x(y)\,dy} ^{A_{1}+\overbrace {\int _{x_{1}^{x_{2}y(x)\,dx} ^{A_{2}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}^{x_{2}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}^{y_{2}.}$

Eli parametrin t avulla sanottuna:

${\displaystyle \int _{t_{1}^{t_{2}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}^{t_{2}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}^{t_{2}$

Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon

${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$

tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon

${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$

Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.

Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion f⁻¹(x) integraali, kun funktion f(x) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot x(y) ja y(x) ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ x dy voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ y dx tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos ${\displaystyle f}$ on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion ${\displaystyle f^{-1}$ integraalille ${\displaystyle f}$:n integraalin avulla.

Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, u(x) ja v(x), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:

${\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}$

Yhtälön oikealla puolella u on differentioitu ja v integroitu; niinpä on joko valittava funktio u niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio v niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}\ dx\ .}$

Koska ln(x):n derivaatta on ${\displaystyle {\frac {1}{x}$, funktioksi u valitaan ln(x), ja koska ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}$:n integraalifunktio on ${\displaystyle -{\frac {1}{x}$, differentiaaliksi dv valitaan ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}$. Näin saadaan:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}{\biggr )}\ dx\ .}$

Funktion ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}$ integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on ${\displaystyle -{\frac {1}{x}$

Vaihtoehtoisesti u ja v voidaan valita siten, että tulo u′ (∫v dx) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali

${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}$,

voidaan valita u(x) = ln(|sin(x)|) ja v(x) = sec²x. Silloin u:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan x, ja v:n integraalifunktio on tan x, joten kaavasta saadaan:

${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}\,dx\ .}$

Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on x. Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.

Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille ${\displaystyle \int u'(x)v(x)\,dx,}$ ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo ${\displaystyle u(x)v(x)}$ sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille ${\displaystyle \int u(x)v'(v)\,dx}$, mikäli integraali ${\displaystyle \int u'(x)v(x)\,dx,}$ on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.

Integraalin

${\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\ ,}$

laskemiseksi valitaan

${\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx}$

${\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}$

jolloin:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}$

missä C on integroimisvakio.

Kun integroitavassa funktiossa esiintyy x:n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa

${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\ ,}$

integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta x:n eksponentti pienenee yhdellä.

Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on

${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan

${\displaystyle u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx}$

${\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}$

jolloin integraali saadaan muotoon:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.}$

Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla

${\displaystyle u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx}$

${\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.}$

Saadaan:

${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

Yhdistämällä nämä saadaan:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$

ja siitä edelleen

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {1}{2}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$

missä C (ja C′ = C/2) on jälleen integroimisvakio.

Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.

Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja x:n tulon integraali tunnetaan.

Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln(x) dx. Kirjoitetaan tämä muotoon:

${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}$

Valitaan:

${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

jolloin saadaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}$

missä C on integroimisvakio.

Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan(x):

${\displaystyle I=\int \arctan(x)\ dx.}$

Kirjoitetaan tämä muotoon

${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx.}$

Nyt valitaan:

${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}\ dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}+C\end{aligned}$.

Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot u ja v on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan u on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:^[5]

L – logaritmifunktiot: ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$ jne.

I – arkusfunktiot (engl. inverse trigonometric function): ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),}$ jne.

A – algebralliset funktiot: ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$ jne.

T – trigonometriset funktiot: ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),}$ jne.

E – eksponenttifunktiot: ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$ jne.

Differentiaali dv muodostetaan funktiosta v, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä D viittaa differentiaaliin dv.

LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia

${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$

LIATE-säännön mukaisesti valitaan u = x, ja dv = cos(x) dx, mistä saadaan du = dx, ja v = sin(x), jolloin integraali saa muodon

${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$

joka on yhtä kuin

${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$

Yleensä yritetään valita u ja dv siten, että du on yksinkertaisempi kuin u ja dv on helppo integroida. Jos sen sijaan uksi valittaisiin cos(x) ja dv:ksi x dx, saataisiin integraali

${\displaystyle {\frac {x^{2}{2}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}{2}\sin(x)\,dx,}$

ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.

Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}\,dx,}$

määrittämiseksi valitaan

${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}\,dx,}$

niin että

${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}{2}.}$.

Saadaan

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}\,dx=\int (x^{2})\left(xe^{x^{2}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}{2}-\int xe^{x^{2}\,dx.}$

Tämä johtaa lopulta tulokseen

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}\,dx={\frac {e^{x^{2}(x^{2}-1)}{2}+C.}$

Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.

John Wallis esitti ${\displaystyle \pi }$:n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}{4n^{2}-1}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}\cdot {\frac {2n}{2n+1}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}\cdot {\frac {2}{3}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}\cdot {\frac {4}{5}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}\cdot {\frac {6}{7}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}\cdot {\frac {8}{9}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}$.

Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on ${\displaystyle \pi }$.

Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty ${\displaystyle z>0}$:n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}$

Koska

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$

kun ${\displaystyle z}$ on luonnollinen luku, toisin sanoen ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$, käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma: ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.

Jos f on k kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat k:nteen saakka lähestyvät nollaa x:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön

${\displaystyle ({\mathcal {F}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}f(\xi ),}$

missä f^(k) on funktion f k:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että

${\displaystyle {\frac {d}{dy}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$

joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}f(\xi ).\end{aligned}$

Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa k:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.

Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos f ja f^(k) ovat integroituvia, niin

${\displaystyle \vert {\mathcal {F}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k},{\text{ where }I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$

Toisin sanoen jos f toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa ξ:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin 1/|ξ|^k. Erityisesti jos k ≥ 2, Fourier-muunnos on integroituva.

Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:

${\displaystyle \vert {\mathcal {F}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$

Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:

${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$

Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla 1 + |2Malline:Piξ^k| saadaan tulos todistetuksi.

Operaattoriteoriassa osittais­integrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että −∆, missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori L^p-avaruudessa L². Jos f on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittais­integroinnilla

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}$

Osittais­integroinnilla voidaan myös määrittää reunaehdot Sturmin-Liouvillen teoriassa. Lisäksi sen avulla voidaan johtaa Eulerin-Lagrangen yhtälö variaatio­laskennassa.

Osittais­integroinnin kaavassa esiintyvän ${\displaystyle v}$:n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:

${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$

Tämän toistuvan osittais­integroinnin käsitteen laajennus n:nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen

${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}$

Tämä on usein käyttökelpoista, kun ${\displaystyle v^{(n)}$:n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun ${\displaystyle u}$:n n:s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on ${\displaystyle (n-1)}$:nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää.

Toistaessa tätä osittais­integrointia ilmenee yhteys integraalien

${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$ and ${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$ ja

${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }1\leq m,\ell \leq n}$ välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden ${\displaystyle v}$ ja ${\displaystyle u}$ välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.

Edellä olevan kaavan oleellinen sisältö voidaan ilmaista taulukon muodossa, ja menetelmää sanotaankin "taulukoiduksi (tabulaariseksi) integroinniksi"^[6]. Se esiintyy myös elokuvassa Älä anna periksi (engl. Stand and Deliver).^[7]

Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$

ja valitaan ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Listan alussa sarakkeessa A on funktio ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}$ ja sen eriasteiset derivaatat, ${\displaystyle u^{(i)}$ kunnes ne tulevat nollaksi. Sarakkeeseen B taas merkitään funktio ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ ja sen peräkkäiset integraalifunktiot ${\displaystyle v^{(n-i)}$, kunnes sarakkeessa B on yhtä monta riviä kuin A:ssakin. Saadaan seuraava taulukko:

# i	Etumerkki	A: derivaatat u(i)	B: integraalit v(n−i)
0	+	${\displaystyle x^{3}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle 3x^{2}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$
3	−	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$
4	+	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$

Taulukon i:nnellä rivillä sarakkeissa A ja B olevien lausekkeiden tulo yhdessä vastaavan etumerkin kanssa antaa ne integraalit, jotka saadaan toistettaessa osittais­integrointi i kertaa. Kun i = 0, saadaan alkuperäinen integraali. Täydellinen tulos saadaan, kun i:s integraali lasketaan yhteen kaikkien niiden tulojen kanssa, jotka saadaan kertomalla ylempänä sarakkeella A j:nnellä rivillä ja sarakkeella B j+1:nnellä rivillä ((0 ≤ j < i) olevat lausekkeet keskenään (siis esimerkiksi sarakkeen A ensimmäisen rivin lauseke kerrotaan sarakkeen B toisen lausekkeen kanssa, sarakkeen A toisen rivin lauseke sarakkeen B kolmannen rivin lausekkeen kanssa jne.) ja varustamalla kukin niistä j:nnen rivin etumerkillä. Tämä prosessi lopetetaan luonnollisesti, kun tulo, joka antaa integraalin, on nolla (tässä esimerkissä neljännellä rivillä). Lopputulos vuorottelevine etumerkkeineen on seuraava:

${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$

Tästä saadaan:

${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$

Toistettu osittais­integrointi osoittuu käyttökelpoiseksi myös, kun differentioitaessa funktiota ${\displaystyle u^{(i)}$ ja integroitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota ${\displaystyle v^{(n-i)}$ niiden tuloksi saadaan alkuperäisen integrandin monikerta. Tässä tapauksessa toisto voidaan myös lopettaa tällä indeksin arvolla i. Näin voi tapahtua varsinkin, kun kyseessä on eksponentti- tai trigonometriset funktiot. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$

# i	Etumerkki	A: derivaatat u(i)	B: integraalit v(n−i)
0	+	${\displaystyle e^{x}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle e^{x}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle e^{x}$	${\displaystyle -\cos x}$

Tässä tapauksessa sarakkeilla A ja B olevien termien tulot varustettuina indeksin arvoa ${\displaystyle i=2}$ vastaavalla etumerkillä antaa tulokseksi alkuperäisen integrandin vastaluvun (vertaa rivejä i=0 ja i=2).

${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$

Kun otetaan huomioon, että RHS:n integraalilla on oma integroimisvakionsa ${\displaystyle C'}$ ja siirtämällä abstrakti integraali yhtälön toiselle puolelle saadaan

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$

ja lopulta:

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$

missä C = C′/2.

Osittais­integrointi voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen sopivaa versiota sopivaan tulosääntöön. Monen muuttujan integraali­laskennassa on useita mahdollisia keinoja ilmaista funktio kahden funktion tulona, josta toinen on skalaariarvoinen funktio u ja toinen vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä) V.^[8]

Vektorianalyysissa divergenssin tulosäännön mukaan on:

${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$

Olkoon ${\displaystyle \Omega }$ jokin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$:n avoin rajoitettu osajoukko, jolla on paloittain sileä reuna ${\displaystyle \Omega }$. Integoimalla ${\displaystyle \Omega }$:n yli standardin tilavuuskaavan ${\displaystyle d\Omega }$ suhteen ja soveltamalla divergenssiteoreemaa saadaan:

${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$

missä ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }$ on reunalla ulospäin osoittava kohtisuora yksikkövektori integroituna standardin Riemannin tilavuuden ${\displaystyle d\Gamma }$ suhteen. Uudelleenjärjestelemällä saadaan:

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$

eli toisin sanoen

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$

Lauseen säännöllisyysvaatimuksia voidaan lieventää. Esimerkiksi riittää, että reuna ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ on Lipschitz-jatkuva ja funktiot u ja v kuuluvat Sobolevin avaruuteen H¹(Ω).^[4]

Tarkastellaan jatkuvia vektorikenttiä ${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}$ ja ${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}$, missä ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}$ on ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$:n i:s standardi kantavektori. Sovelletaan osittais­integrointia jokaiseen lausekkeeseen, joka saadaan kertomalla vektorikenttä ${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}$ jollakin kertoimista ${\displaystyle u_{i}$:

${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}{\partial x_{i}v\,d\Omega .}$

Laskemalla nämä yhteen saadaan uusi osittais­integrointi­kaava:

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$

Tapaus ${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$, missä ${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega })}$, tunnetaan ensimmäisenä Greenin identiteettinä:

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$

• Sijoitusmenetelmä