Pinta (geometria)

Osa artikkelisarjaa

Geometria

Tasogeometria

• Piste
• Suora
• Käyrä
• Taso
• Pinta
• Pinta-ala
• Pituus
• Kulma
• Trigonometria
• Ympyrä
• Ellipsi
• Monikulmio
• Kolmio
• Nelikulmio
• Suorakulmio
• Neliö
• Suunnikas
• Neljäkäs
• Puolisuunnikas

Avaruusgeometria

• Tilavuus
• Avaruuskappale
• Pallo
• Kartio
• Lieriö
• Särmiö
• Suuntaissärmiö
• Suorakulmainen särmiö
• Säännöllinen monitahokas
• Platonin kappale
• Tetraedri
• Heksaedri eli kuutio
• Oktaedri
• Dodekaedri
• Ikosaedri
• Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria

• Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria

• Hyperbolinen geometria
• Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

• n
• k
• m

Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla.

Olkoon ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})}$ topologinen avaruus. Tällöin joukon ${\displaystyle X}$ pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus ${\displaystyle \omega :D\rightarrow X}$, missä joukko ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}$ on yhtenäinen.^[1]

Kuvauksen ${\displaystyle \omega }$ kuvajoukkoa ${\displaystyle \omega (D)}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

Euklidisen avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ kaavan jatkuvien funktioiden ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}:D\rightarrow \mathbb {R} }$ avulla siten, että pisteessä ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ pinnan ${\displaystyle \omega }$ kaava

${\displaystyle \omega (x,y)=(\omega _{1}(x,y),\omega _{2}(x,y),...,\omega _{n}(x,y))}$.

Funktioita ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}$ osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan ${\displaystyle \omega }$ osittaisderivaatat pisteessä ${\displaystyle (x,y)\in D}$ ovat funktiot ${\displaystyle \partial _{1}\omega ,\partial _{2}\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$,

${\displaystyle \partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}\omega _{1}(x,y),\partial _{1}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{1}\omega _{n}(x,y))}$

${\displaystyle \partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}\omega _{1}(x,y),\partial _{2}\omega _{2}(x,y),...,\partial _{2}\omega _{n}(x,y))}$.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan ${\displaystyle \omega }$ derivaatan. Pinnan ${\displaystyle \omega }$ derivaattafunktio on funktio ${\displaystyle \omega ':D\rightarrow \lbrace M:M{\mbox{ on }n\times 2-{\mbox{matriisi}\rbrace }$,

${\displaystyle \omega '(x,y)={\begin{bmatrix}\partial _{1}\omega _{1}(x,y)&\partial _{2}\omega _{1}(x,y)\\\partial _{1}\omega _{2}(x,y)&\partial _{2}\omega _{2}(x,y)\\\vdots &\vdots \\\partial _{1}\omega _{n}(x,y)&\partial _{2}\omega _{n}(x,y)\end{bmatrix}$.

Derivaattafunktion kaavaa ${\displaystyle \omega '(x,y)}$ kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä ${\displaystyle (x,y)}$. Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$, niin lineaarinen funktio ${\displaystyle T:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$,

${\displaystyle T(x,y)=\omega (x_{0},y_{0})+\omega '(x_{0},y_{0})(x-x_{0},y-y_{0})}$,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta ${\displaystyle \omega }$ pisteen ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ läheisyydessä. Funktiota ${\displaystyle T}$ kutsutaan pinnan ${\displaystyle \omega }$ tangenttitasoksi pisteessä ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0