Exemples de courbes de Lamé
(
n
,
a
,
b
)
=
(
1
2
,
1
,
1
)
{\displaystyle (n,a,b)=\left({\frac {1}{2},1,1\right)}
(
n
,
a
,
b
)
=
(
3
2
,
1
,
1
)
{\displaystyle (n,a,b)=\left({\frac {3}{2},1,1\right)}
(
n
,
a
,
b
)
=
(
4
,
1
,
1
)
{\displaystyle (n,a,b)=\left(4,1,1\right)}
Les courbes de Lamé (ou superellipses) sont un groupe de courbes définies pour la première fois par le mathématicien français Gabriel Lamé en 1818[ 1] . Elles sont définies par leur équation cartésienne :
|
x
a
|
n
+
|
y
b
|
n
=
1.
{\displaystyle \left|{\frac {x}{a}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}\right|^{n}\!=1.}
Similairement, elles sont définies par l'équation polaire (pour les points
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
qui respectent l'équation) :
r
=
(
|
cos
(
θ
)
a
|
n
+
|
sin
(
θ
)
b
|
n
)
−
1
/
n
,
{\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!,}
Propriétés
Les courbes de Lamé peuvent aussi être définies par l'équation paramétrique [ 2] :
{
x
(
θ
)
=
±
a
cos
2
n
θ
y
(
θ
)
=
±
b
sin
2
n
θ
0
≤
θ
<
π
2
.
{\displaystyle {\begin{cases}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}\theta \end{cases}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}.}
L'aire de la surface délimitée par une courbe de Lamé vaut[ 3]
4
(
1
−
1
n
)
a
b
π
Γ
(
1
+
1
n
)
Γ
(
1
2
+
1
n
)
,
{\displaystyle {\frac {4^{\left(1-{\frac {1}{n}\right)}ab{\sqrt {\pi }\,\Gamma (1+{\frac {1}{n})}{\Gamma ({\frac {1}{2}+{\frac {1}{n})},}
où Γ est la fonction Gamma .
Notes et références
Articles connexes