Nombre de Lucas-Carmichael

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Ne doit pas être confondu avec Nombre de Lucas, Nombre de Carmichael ni Nombre de Carmichael-Lucas[1].

En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.

Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1) est toujours divisible par n + 1).

Exemple

399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.

Propriétés

Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.

On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.

Liste

Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :

399 = 3 × 7 × 19
935 = 5 × 11 × 17
2 015 = 5 × 13 × 31
2 915 = 5 × 11 × 53
4 991 = 7 × 23 × 31
5 719 = 7 × 19 × 43
7 055 = 5 × 17 × 83
8 855 = 5 × 7 × 11 × 23
12 719 = 7 × 23 × 79
18 095 = 5 × 7 × 11 × 47
20 705 = 5 × 41 × 101
20 999 = 11 × 23 × 83
22 847 = 11 × 31 × 67
29 315 = 5 × 11 × 13 × 41
31 535 = 5 × 7 × 17 × 53
46 079 = 11 × 59 × 71
51 359 = 7 × 11 × 23 × 291
60 059 = 19 × 29 × 109
63 503 = 11 × 23 × 251
67 199 = 11 × 41 × 149
73 535 = 5 × 7 × 11 × 191
76 751 = 23 × 47 × 71
80 189 = 17 × 53 × 89
81 719 = 11 × 17 × 19 × 23
88 559 = 19 × 59 × 79
90 287 = 17 × 47 × 113
104 663 = 13 × 83 × 97
117 215 = 5 × 7 × 17 × 197
120 581 = 17 × 41 × 173
147 455 = 5 × 7 × 11 × 383
152 279 = 29 × 59 × 89
155 819 = 19 × 59 × 139
162 687 = 3 × 7 × 61 × 127
191 807 = 7 × 11 × 47 × 53
194 327 = 7 × 17 × 23 × 71
196 559 = 11 × 107 × 167
214 199 = 23 × 67 × 139
218 735 = 5 × 11 × 41 × 97
230 159 = 47 × 59 × 83
265 895 = 5 × 7 × 71 × 107
357 599 = 11 × 19 × 29 × 59
388 079 = 23 × 47 × 359
390 335 = 5 × 11 × 47 × 151
482 143 = 31 × 103 × 151
588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43
653 939 = 11 × 13 × 17 × 269
663 679 = 31 × 79 × 271
676 799 = 19 × 179 × 199
709 019 = 17 × 179 × 233
741 311 = 53 × 71 × 197
760 655 = 5 × 7 × 103 × 211
761 039 = 17 × 89 × 503
776 567 = 11 × 227 × 311
798 215 = 5 × 11 × 23 × 631
880 319 = 11 × 191 × 419
895 679 = 17 × 19 × 47 × 59
913 031 = 7 × 23 × 53 × 107
966 239 = 31 × 71 × 439
966 779 = 11 × 179 × 491
973 559 = 29 × 59 × 569
1 010 735 = 5 × 11 × 17 × 23 × 47
1 017 359 = 7 × 23 × 71 × 89
1 097 459 = 11 × 19 × 59 × 89
1 162 349 = 29 × 149 × 269
1 241 099 = 19 × 83 × 787
1 256 759 = 7 × 17 × 59 × 179
1 525 499 = 53 × 107 × 269
1 554 119 = 7 × 53 × 59 × 71
1 584 599 = 37 × 113 × 379
1 587 599 = 13 × 97 × 1259
1 659 119 = 7 × 11 × 29 × 743
1 707 839 = 7 × 29 × 47 × 179
1 710 863 = 7 × 11 × 17 × 1307
1 719 119 = 47 × 79 × 463
1 811 687 = 23 × 227 × 347
1 901 735 = 5 × 11 × 71 × 487
1 915 199 = 11 × 13 × 59 × 227
1 965 599 = 79 × 139 × 179
2 048 255 = 5 × 11 × 167 × 223
2 055 095 = 5 × 7 × 71 × 827
2 150 819 = 11 × 19 × 41 × 251
2 193 119 = 17 × 23 × 71 × 79
2 249 999 = 19 × 79 × 1499
2 276 351 = 7 × 11 × 17 × 37 × 47
2 416 679 = 23 × 179 × 587
2 581 319 = 13 × 29 × 41 × 167
2 647 679 = 31 × 223 × 383
2 756 159 = 7 × 17 × 19 × 23 × 53
2 924 099 = 29 × 59 × 1709
3 106 799 = 29 × 149 × 719
3 228 119 = 19 × 23 × 83 × 89
3 235 967 = 7 × 17 × 71 × 383.

Notes et références

  1. ↑ (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer Science & Business Media, (lire en ligne), p. 108.