Pour les articles homonymes, voir Partie et Entier.
En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel est le plus grandentier relatif (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à .
Notée le plus souvent , elle est entièrement définie par :
En posant , on a donc bien où , et donc est bien le quotient dans la division euclidienne de par .
∎
La différence entre un nombre et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.
On définit également la partie entière par excès ou partie entière supérieure comme le plus petit entier supérieur ou égal à .
Notations
La partie entière (par défaut) de est notée conventionnellement , c'est-à-dire avec les anglets « plancher à gauche » () et « plancher à droite » ()[2]. La fonction partie entière est souvent notée ou [note 1].
On utilise aussi la notation mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais floor, « plancher ») définie par l’encadrement :
et la partie entière supérieure (appelée en anglais ceiling, « plafond ») définie par :
La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.
Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.
Partie fractionnaire
La partie fractionnaire d'un nombre réel , notée [3],[note 2], ou parfois [4], est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :
.
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux[5].
Certains considèrent le terme partie fractionnaire impropre pour les nombres irrationnels, car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une fraction[6]. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.
Propriétés générales
Tout réel vérifie les propriétés suivantes, où est l'ensemble des entiers relatifs :
Parfois notée , elle est continue à droite et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique, de période (d'après la remarque immédiate[1],[note 4]: pour tout entier )
Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable sur tout on pose :
À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).
Dans les formules suivantes, x et y sont des nombres réels, m, n et k sont des entiers relatifs.
Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par :
Dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, il existe un seul entier ; donc pour tout réel x, il existe deux entiers m et n, égaux si x est entier, tels que :
Les parties entières par défaut et par excès peuvent alors aussi être définies par :
D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières[9]:
Applications
Expression du PGCD
La propriété est utilisée dans une démonstration du fait que si a et b sont des entiers strictement positifs premiers entre eux alors (formule dite « de Sylvester »[10], ou « de Polezzi » [11]) :
formule pouvant être généralisée pour tous entiers a et b strictement positifs[12],[13] :
Démonstration
donc .
Posons ou ; alors est entier fois pour entre 1 et .
Donc, d'après la propriété précédente donnant la valeur de :
Cette formule peut être inversée de sorte à donner une formule explicite pour le PGCD[11]:
L'arrondi entier d'un nombre réel , noté ou , est l'entier le plus proche de ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue de façon que la fonction soit une fonction impaire.
On a :
ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel :
.
Comme l'arrondi d'un réel est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté [15].
En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités suivantes (la troisième uniquement pour positif) :
Arrondi à une précision donnée
Étant donné un réel strictement positif , l'arrondi à la précision d'un réel est le nombre multiple de le plus proche de :
Étant donné un entier , l'arrondi décimal de à l'ordre , est l'arrondi de à la précision :
.
Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre sont successivement :
Lorsqu'on écrit , cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de est égal à , autrement dit que .
Parties entière et fractionnaire d'une fraction rationnelle
Définition
Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel est le quotient euclidien de par , on définit la partie entière d'une fraction rationnelle comme le quotient euclidien de par , après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant de la fraction. La partie entière de est donc l'unique polynôme tel que avec polynôme de degré strictement inférieur à celui de . Notation : . Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.
La partie fractionnaire est .
Ces définitions se transmettent aux fonctions rationnelles.
Propriétés
P1 : si est de degré < 0, , et sinon (et donc ).
P2 : un polynôme est la partie entière d'une fraction rationnelle si et seulement si est de degré strictement négatif.
P3 : la partie entière d'une somme est la somme des parties entières :
Cette dernière propriété différencie la notion de partie entière dans les réels et dans les fractions rationnelles ; elle est très utile pour la recherche de décomposition en éléments simples.
Démonstration
Pour P1 : si est de degré < 0, , donc le quotient de par est bien nul. Sinon, , donc , donc . Donc .
Pour P2 : sens direct : est bien de degré strictement négatif. Réciproquement, si est de degré strictement négatif, donc est bien le quotient de par .
Pour P3 : comme son degré est < 0, donc par P2, la partie entière de est bien .
Application
La partie entière d'un fonction rationnelle de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à au voisinage de +∞ et -∞.
↑Cette notation ne doit pas être confondue avec celle du singleton
↑Cette propriété intervient dans la démonstration arithmétique du fait que le produit de n entiers consécutifs est divisible par n! ; voir à formule de Legendre.
↑ a et b(en) Marcelo Polezzi, « A geometrical Method for Finding an Explicit Formula for the Greatest Comon Divisor », The American Mathematical Monthly, , p. 445-446 (lire en ligne)
↑Graham, Knuth, Patashnik, Mathématiques concrètes, Thomson publishing, , p. 101
↑Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Belin, , p. 153
↑Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, , p. 83