En mathématiques , une suite de polynômes ( p n ( z ) ) n ∈ N {\displaystyle (p_{n}(z))_{n\in \mathbb {N} } possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :
K ( z , w ) = A ( w ) Ψ ( z g ( w ) ) = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) w n {\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n} où la fonction génératrice K ( z , w ) {\displaystyle K(z,w)} est composée des séries :
A ( w ) = ∑ n = 0 ∞ a n w n {\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n} avec a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{0}\neq 0} ; Ψ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n t n {\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n} avec tous les Ψ n ≠ 0 {\displaystyle \Psi _{n}\neq 0} ; g ( w ) = ∑ n = 1 ∞ g n w n {\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n} avec g 1 ≠ 0 {\displaystyle g_{1}\neq 0} . Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que p n ( z ) {\displaystyle p_{n}(z)} est polynôme de degré n {\displaystyle n} .
Cas particuliers Le choix de g ( w ) = w {\displaystyle g(w)=w} donne la classe des polynômes de Brenke . Le choix de Ψ ( t ) = e t {\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t} donne la suite des polynômes de Sheffer . Le choix simultané de g ( w ) = w {\displaystyle g(w)=w} et de Ψ ( t ) = e t {\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t} donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.
Représentation explicite Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
p n ( z ) = ∑ k = 0 n z k Ψ k h k {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k} . Le coefficient h k {\displaystyle h_{k} est
h k = ∑ P a j 0 g j 1 g j 2 … g j k {\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}g_{j_{1}g_{j_{2}\ldots g_{j_{k} où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n .
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :
p n ( z ) = ∑ k = 0 n a n − k z k k ! {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}{k!} .
Relations de récurrence De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau K ( z , w ) {\displaystyle K(z,w)} puisse être écrit comme A ( w ) Ψ ( z g ( w ) ) {\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))} avec g 1 = 1 {\displaystyle g_{1}=1} est que
∂ K ( z , w ) ∂ w = c ( w ) K ( z , w ) + z b ( w ) w ∂ K ( z , w ) ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z} où b ( w ) {\displaystyle b(w)} et c ( w ) {\displaystyle c(w)} ont un développement en série
b ( w ) = w g ( w ) d d w g ( w ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ b n w n {\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n} et
c ( w ) = 1 A ( w ) d d w A ( w ) = ∑ n = 0 ∞ c n w n {\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n} . En faisant la substitution
K ( z , w ) = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) w n {\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n} , il vient immédiatement la relation de récurrence :
z n + 1 d d z [ p n ( z ) z n ] = − ∑ k = 0 n − 1 c n − k − 1 p k ( z ) − z ∑ k = 1 n − 1 b n − k d d z p k ( z ) {\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}p_{k}(z)} . Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a g ( w ) = w {\displaystyle g(w)=w} et donc tous les b n {\displaystyle b_{n} sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.
Crédit d'auteurs
Bibliographie (en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck , Polynomial Expansions of Analytic Functions , New York/Berlin, Academic Press /Springer-Verlag , 1964 , 2e éd. (en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month. , vol. 52, 1945 , p. 297-301 (en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J. , vol. 14, 1947 , p. 1091-1104