Raisonnement par disjonction de cas

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (mai 2021).

Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».

En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

Le contenu de cet article ou de cette section est peut-être sujet à caution et doit absolument être sourcé (mai 2021).

Si vous connaissez le sujet dont traite l'article, merci de le reprendre à partir de sources pertinentes en utilisant notamment les notes de fin de page. Vous pouvez également laisser un mot d'explication en page de discussion.

Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de raisonnement mathématique qui consiste à décomposer la proposition que l'on cherche à démontrer en un nombre fini de cas (sous-propositions) vérifiés indépendamment.

Proposition : Pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}$ est un entier.

Démonstration : on peut séparer deux cas, ${\displaystyle n}$ est pair et ${\displaystyle n}$ est impair :

• Si ${\displaystyle n}$ est pair alors ${\displaystyle n=2k}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et alors ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}={\dfrac {2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)}$ ce qui est entier.
• Si ${\displaystyle n}$ est impair, alors ${\displaystyle n=2k+1}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et alors ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}={\dfrac {(2k+1)(2k+2)}{2}={\dfrac {2(k+1)(2k+1)}{2}=(k+1)(2k+1)}$ ce qui est aussi entier.

Ainsi dans les deux cas ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}$ est entier, donc c'est vrai pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

• Portail des mathématiques