Série de Puiseux

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En mathématiques, les séries de Puiseux sont une généralisation des séries formelles, introduites pour la première fois par Isaac Newton en 1676^[1] et redécouvertes par Victor Puiseux en 1850^[2], qui permet à l'exposant de l'indéterminée d'être négatif ou fractionnel (tout en étant, pour une série donnée, borné inférieurement et de dénominateur borné).

Définition

Une série de Puiseux d'indéterminée T est une série formelle de Laurent en T^1/n (où n est un entier strictement positif) ; elle peut donc s'écrire :

\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}T^{i/n},

avec

k

entier relatif.

Le corps K⟪T⟫ des séries de Puiseux à coefficients dans un corps K est la réunion de la famille des corps de séries de Laurent K((T^1/n)) (indexée par les entiers n > 0), en considérant K((T^1/n)) comme inclus dans K((T^1/(kn))) pour tout multiple kn de n, par l'identification de T^1/n avec (T^1/(kn))^k.

Plus formellement, K⟪T⟫ est la limite inductive d'une famille de corps de séries de Laurent notés K((T_n)), les indices n ∈ ℕ* étant ordonnés par la divisibilité et chaque morphisme (injectif) K((T_n)) → K((T_kn)) de ce système inductif étant donné par T_n ↦ (T_kn)^k.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Puiseux series » (voir la liste des auteurs).

↑ Isaac Newton, « Letter to Oldenburg dated 1676 Oct 24 », dans The Correspondence of Isaac Newton, vol. II, CUP, 1960 (ISBN 0521087228), p. 126-127.
↑ V. Puiseux, « Recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 15,‎ 1850, p. 365-480 (lire en ligne) et « Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 16,‎ 1851, p. 228-240 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Puiseux Series », sur MathWorld
(en) Jiri Lebl, « Puiseux series »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, sur PlanetMath

Ouvrages

(en) Saugata Basu, Richard Pollack et Marie-Françoise Roy, Algorithms in Real Algebraic Geometry, Springer, coll. « Algorithms and Computations in Mathematics » (n^o 10), 2006, 2^e éd. (ISBN 978-3-540-33098-1, DOI 10.1007/3-540-33099-2, lire en ligne)
(en) Greg Cherlin, Model Theoretic Algebra Selected Topics, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 521), 1976 (ISBN 978-3-540-07696-4, présentation en ligne)
(en) Steven Dale Cutkosky, Resolution of Singularities, Providence (R.I.), AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 63), 2004, 186 p. (ISBN 0-8218-3555-6, lire en ligne)
(en) Kiran S. Kedlaya, « The algebraic closure of the power series field in positive characteristic », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 129,‎ 2001, p. 3461–3470 (DOI 10.1090/S0002-9939-01-06001-4)
(en) Isaac Newton, « The method of fluxions and infinite series; with its application to the geometry of curve-lines », (traduit du latin et publié par John Colson en 1736),‎ 1736
(en) Igor R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry : Varieties in projective space. 1, Berlin, Springer, 1994, 2^e éd., 572 p. (ISBN 978-3-540-54812-6)

Portail de l’algèbre

[1] Isaac Newton, « Letter to Oldenburg dated 1676 Oct 24 », dans The Correspondence of Isaac Newton, vol. II, CUP, 1960 (ISBN 0521087228), p. 126-127.

[2] V. Puiseux, « Recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 15,‎ 1850, p. 365-480 (lire en ligne) et « Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 16,‎ 1851, p. 228-240 (lire en ligne).

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