A función cosecante é a razón trigonométrica recíproca da función seno :
csc
α
=
1
sin
α
=
c
a
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }={\frac {c}{a}
Trazando unha recta horizontal que pasa por F que curta a recta r en G . Á vista da figura, podemos ver que o ángulo de G é igual ao ángulo de A, dado o triángulo GAF rectángulo en F:
csc
α
=
1
sin
α
=
A
B
¯
C
B
¯
=
A
G
¯
A
F
¯
=
A
G
¯
1
=
A
G
¯
.
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }={\frac {\overline {AB}{\overline {CB}={\frac {\overline {AG}{\overline {AF}={\frac {\overline {AG}{1}={\overline {AG}.}
(Tendo en conta que na proba usamos a circunferencia de raio unidade).
Partindo da definición de cosecante como a recíproca do seno, vemos a representación conxunta de ambas as dúas funcións (en vermello escuro a cosecante):
E coñecendo a función seno, podemos ver que para os valores nos que o seno vale cero, a cosecante faise infinito, se a función seno tende a cero desde valores negativos a cosecante tende a:
−
∞
{\displaystyle -\infty }
lim
α
→
0
−
sin
(
α
)
=
0
−
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{-}\sin(\alpha )=0^{-}
lim
α
→
0
−
csc
(
α
)
=
1
lim
α
→
0
−
sin
(
α
)
=
1
0
−
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{-}\csc(\alpha )={\cfrac {1}{\underset {\alpha \to 0^{-}{\lim }\;\sin(\alpha )}={\cfrac {1}{0^{-}=-\infty }
mentres que cando o seno tende a cero desde valores positivos a cosecante tende a:
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
α
→
0
+
sin
(
α
)
=
0
+
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}\sin(\alpha )=0^{+}
lim
α
→
0
+
csc
(
α
)
=
1
lim
α
→
0
+
sin
(
α
)
=
1
0
+
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}\csc(\alpha )={\cfrac {1}{\underset {\alpha \to 0^{+}{\lim }\;\sin(\alpha )}={\cfrac {1}{0^{+}=+\infty }
Cando o seno do ángulo vale un, a súa cosecante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.
A cosecante é unha función periódica con período
2
π
{\displaystyle 2\pi }
csc
x
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \csc x=\csc(x+2k\pi ),k\in \mathbb {Z} }
Valores significativos
Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que
csc
x
=
1
sin
x
{\displaystyle \csc x={1 \over \sin x}
[ 1]
x
{\displaystyle x}
radiáns
0
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}
5
12
π
{\displaystyle {\frac {5}{12}\pi }
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}
π
{\displaystyle \pi }
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
x
{\displaystyle x}
graos 0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
csc
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)}
∄
{\displaystyle \nexists }
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {6}+{\sqrt {2}
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}{3}
6
−
2
{\displaystyle {\sqrt {6}-{\sqrt {2}
1
{\displaystyle 1}
∄
{\displaystyle \nexists }
−
1
{\displaystyle -1}
∄
{\displaystyle \nexists }
Derivada
Obtemos a derivada aplicando a regra do cociente[ 2]
d
d
x
csc
x
=
d
d
x
1
sin
x
=
−
cos
x
sin
2
x
=
−
csc
x
⋅
cot
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\csc x={\frac {d}{dx}{\frac {1}{\sin x}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}=-\csc x\cdot \cot x}
Notas
↑ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni (2012). Ghisetti e Corvi, ed. Lineamenti.Math Blu Volume 4 . ISBN 978-88-538-0432-7 . ↑ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi. Zanichelli, 2009, ed. Corso Base Blu di Matematica-Volume 5 . ISBN 978-88-08-03933-0 .
Cobo Mérida, Purificación (2008). Trigonometría, 4 ESO . Materiales Didácticos Bemal. ISBN 978-84-612-6049-2 .
