Distribución hiperxeométrica

Distribución hiperxeométrica

Función de masa de probabilidade
Función de distribución
Parámetros	${\displaystyle N\in \{0,1,2,\dots \}$ ${\displaystyle m\in \{0,1,2,\dots ,N\}$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots ,N\}\,}$
Soporte	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}\,}$
Función de densidade	${\displaystyle {m \choose k}{N-m} \choose {n-k} \over {N \choose n}$
Función de distribución
Media	${\displaystyle nm \over N}$
Mediana
Moda	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}\right\rfloor }$
Varianza	${\displaystyle n(m/N)(1-(m/N))(N-n) \over (N-1)}$
Asimetría	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}(N-2)}$
Curtose	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}-6\right]}$
Entropía
F. xeradora de momentos	${\displaystyle {\frac {N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}{N \choose n}\,\!}$
Func. caract.	${\displaystyle {\frac {N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}{N \choose n}$

A distribución hiperxeométrica é unha distribución de probabilidade discreta relacionada coas mostraxes aleatorias e sen substitución. Supoñendo que se ten unha poboación de N elementos dos cales, d pertencen á categoría A e N-d á B. A distribución hiperxeométrica mide a probabilidade de obter x (${\displaystyle 0\leq x\leq d}$) elementos da categoría A nunha mostra sen substitución de n elementos da poboación orixinal.

A función de probabilidade dunha variable aleatoria con distribución hiperxeométrica pode deducirse empregando razoamentos combinatorios e é igual a

${\displaystyle P(X=x)={\frac {d \choose x}{N-d \choose n-x}{N \choose n},}$

onde:

• ${\displaystyle N}$ é o tamaño da poboación
• ${\displaystyle n}$ é o tamaño da mostra extraída
• ${\displaystyle d}$ é o número de elementos da poboación orixinal que pertencen á categoría desexada
• ${\displaystyle x}$ é o número de elementos na mostra que pertencen a esa categoría.

A notación ${\displaystyle {a \choose x}$ fai referencia ao coeficiente binomial, é dicir, o números de combinacións posibles ao seleccionar ${\displaystyle x}$ elementos dun total ${\displaystyle a}$.

O valor esperado dunha variable aleatoria X que segue a distribución hiperxeométrica é

${\displaystyle E[X]={\frac {nd}{N}$

e a súa varianza,

${\displaystyle Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}{\bigg )}.}$

Definindo na fórmula anterior

${\displaystyle p={\frac {d}{N}$

e

${\displaystyle q=1-p\,,}$

obtense

${\displaystyle Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}.}$

A distribución hiperxeométrica aplícase a mostraxes sen substitución e a binomial a mostraxes con substitución. En situación nas que o número esperado de repeticións na mostraxe é supostamente baixo pode aproximarse a primeira pola segunda. Isto é así cando N é grande e o tamaño relativo da mostra extraída, n/N, é pequeno.

• Calculadora da probabilidade dunha distribución hiperxeométrica(en inglés)
• Calculadora Distribución hiperxeométrica(en castelán)