Función convexa

${\displaystyle }$

En matemática, unha función ${\displaystyle [a,b]\to \mathbb {R} }$ é dita convexa se a rexión sobre o seu gráfico é un conxunto convexo. Ou, equivalentemente, de forma analítica, para calquera x e y pertencentes a ${\displaystyle [a,b]\,}$ e para todo t en ${\displaystyle [0,1]\,}$, tense

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).}$

Unha función dise estritamente convexa se :

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)\,}$ para todo ${\displaystyle t}$ en (0,1) e ${\displaystyle x\neq y\,}$.

• Unha función convexa en ${\displaystyle [a,b]\,}$ é sempre continua en ${\displaystyle (a,b)\,}$.
• Unha función continua nun intervalo C é convexa se e só se:

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}.}$ para todo ${\displaystyle x,y}$ ∈ ${\displaystyle C}$.

• Unha función diferenciábel é convexa nun intervalo se e só se a súa derivada é monótona non decrecente nese intervalo.
• Unha función continuamente diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo, se e só se:

${\displaystyle f(y)\geq f(x)+f'(x)(y-x)}$, para todos x e y no intervalo.

• Unha función dúas veces diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo se e só se, a súa segunda derivada é maior ou igual a cero en todo o intervalo.
• Se a súa segunda derivada é estritamente positiva entón a función é estritamente convexa.
• Unha función convexa non posúe puntos de máximo.
• Se unha función convexa posúe un punto de mínimo local, el tamén será un punto de mínimo global.
• Unha función estritamente convexa posúe como moito un punto de mínimo.
• O máximo de funcións convexas tamén é unha función convexa.

• A función ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ é convexa.
• A función ${\displaystyle f(x)=e^{x}\,}$ é convexa.
• O valor absoluto é unha función convexa ${\displaystyle \left(f(x)=|x|\right)\,}$

Sexa ${\displaystyle \mathbb {V} \,}$ un espazo vectorial e ${\displaystyle C\,}$ un conxunto convexo contido en ${\displaystyle \mathbb {V} \,}$, entón unha función ${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} \,}$ é dita convexa se:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\,}$ para todo ${\displaystyle t}$ en [0,1].

E estritamente convexa se:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)\,}$ para todo ${\displaystyle t\,}$ en (0,1) e ${\displaystyle x\neq y\,}$.

• Toda norma ou seminorma é convexa, pola desigualdade triangular
• Todo funcional lineal en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ é convexo.

• Funcións convexas son amplamente utilizadas para demostrar desigualdades tales como a desigualdade de Young.
• A convexidade desempeña un papel moi importante na aplicación de métodos variacionais para EDPs non lineais.

• Desigualdade de Jensen