Media metálica

  As medias metálicas (ou ratios ou constantes) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes:

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}{2}.}$

A proporción áurea (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores. ^{[1] [2]} Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita. ^{[3] [4]} Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: ${\displaystyle x^{2}-nx=1}$, onde ${\displaystyle n}$ é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado). A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a (secuencia A006190 na OEIS).

Así para cada ${\displaystyle n}$ temos as recorrencias lineais de segunda orde: ${\displaystyle a_{i}=na_{i-1}+a_{i-2},{\text{ con }a_{0}=0,a_{1}=1.}$

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

(secuencia A006190 na OEIS) (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ...

Propiedades

Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos ${\displaystyle S_{n}$ á media metálica relacionada coa constante n.

Sendo ${\displaystyle {\dfrac {p_{i}{q_{i}$ os converxentes da fracción continua ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]}$ temos que

${\displaystyle {S_{n}=\lim _{i\to \infty }{\dfrac {p_{i}{q_{i}$

A recorrencia asociada a cada ${\displaystyle S_{n}$ son os denominadores ${\displaystyle q_{i}$ (ou os numeradores ${\displaystyle p_{i}$ excluído o cero) dos converxentes da fracción continua ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]}$.

Sendo ${\displaystyle a_{i}=na_{i-1}+a_{i-2},{\text{ con }a_{0}=0,a_{1}=1.}$ a recorrencia asociada a ${\displaystyle S_{n}$ temos que

${\displaystyle {S_{n}=\lim _{i\to \infty }{\dfrac {a_{i}{a_{i-1}$

Unha relación para a inversa da media metálica ${\displaystyle S_{n}$

${\displaystyle {\frac {1}{S_{n}=S_{n}-n}$

por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos ${\displaystyle S_{n}$ en para enteira a e parte fraccional b, temos:

${\displaystyle S_{n}=a+b}$, e resulta

${\displaystyle S_{n}^{2}=a^{2}+nb+1.}$

As medias metálicas de n en forma de integral,

${\displaystyle S_{n}=\int _{0}^{n}{\left({\dfrac {x}{2{\sqrt {x^{2}+4}+{\dfrac {n+2}{2n}\right)}\,dx.}$

En relación a funcións hiperbólicas,

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}{2}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }$

Expresións trigonométricas

Expresión trigonométrica
N	Fórmula	Polígono regular asociado
1	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}$	pentágono
2	${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}$	octógono
3	${\displaystyle 8\cos {\frac {\pi }{13}\cos {\frac {3\pi }{13}\cos {\frac {4\pi }{13}$	tridecágono
4	${\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}$

Construción xeométrica

A media metálica ${\displaystyle S_{n}$ para calquera número enteiro dado ${\displaystyle n}$ pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ tendo lonxitudes ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle n/2}$, respectivamente. A media metálica ${\displaystyle S_{n}$ é simplemente a suma da lonxitude de ${\displaystyle B}$ e a hipotenusa ${\displaystyle H}$. ^[5]

Para ${\displaystyle n=1}$ ,

${\displaystyle H={\sqrt {(n/2)^{2}+1^{2}={\sqrt {5/4}=1.1180339...}$

e logo

${\displaystyle S_{1}=B+H=1/2+1.1180339...=1.6180339...=}$ φ.

Con ${\displaystyle n=2}$ dá a proporción de prata.

${\displaystyle H={\sqrt {(2/2)^{2}+1^{2}={\sqrt {2}=1.4142135...}$

${\displaystyle S_{2}=B+H=2/2+1.4142135...=2.4142135...}$

A proporción de bronce con ${\displaystyle n=3}$,

${\displaystyle H={\sqrt {(3/2)^{2}+1^{2}={\sqrt {13/4}=1.8027756...}$

${\displaystyle S_{3}=B+H=3/2+1.8027756...=3.3027756...}$

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con ${\displaystyle n=1.5}$, temos

${\displaystyle H={\sqrt {(1.5/2)^{2}+1^{2}={\sqrt {1.5625}=1.25}$

${\displaystyle S_{1.5}=B+H=1.5/2+1.25=2}$

que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231.World Scientific.ISBN 9789812775832.

Ligazóns externas

• Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "Metallic Structures on Riemannian Manifolds", Revista de la Unión Matemática Argentina.
• Rakočević, Miloje M. "Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation", Arxiv.org.