Problema de Monty Hall

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é un problema matemático de probabilidade baseado no concurso televisivo estadounidense Trato feito (Let's Make a Deal). O problema foi exposto e resolto polo matématico Steve Selvin, na revista American Statistician en 1975. O problema foi bautizado co nome do presentador de devandito concurso, Monty Hall. En España o mesmo tipo de problema aparecía no concurso televisivo Un, dos, tres... responda otra vez.

O concursante debe escoller unha porta entre tres (todas pechas); o premio consiste en levarse o que se atopa detrás da escollida. Sábese con certeza que tras unha delas ocúltase un automóbil, e tras as outras dúas hai cabras. Unha vez que o concursante elixa unha porta e comunicado a súa elección aos presentes, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada porta, abrirá unha das outras dúas, na que haberá unha cabra. A continuación, dálle a opción ao concursante de mudar, se o desexa, de porta (ten dúas opcións). Debe o concursante manter a súa elección orixinal ou escoller a outra porta? Hai algunha diferenza?

Esa pregunta xerou un intenso debate. Como a resposta correcta parece contradicir a intuición, é un paradoxo.

No concurso "un, dos, tres ... responda otra vez", unha porta tiña un coche, outra unha cabaza e outra un regalo ruín.

A mecánica do concurso é a seguinte:

• Ao concursante ofréceselle a posibilidade de escoller unha entre tres portas. Tras unha delas atópase un coche, e tras as outras dúas hai senllas cabras. O concursante gaña o premio que se oculta detrás da porta que escolla.
• Despois de que o concursante escolla unha porta, o presentador abre unha das outras dúas portas, mostrando unha cabra. Sempre pode facelo, xa que mesmo se o concursante escolleu unha cabra, fica outra entre as portas que descartou e o presentador coñece o que hai detrás de cada porta.
• Entón, ofrece ao concursante a posibilidade de cambiar a súa elección inicial e escoller a outra porta que descartou orixinalmente, que continúa pechada.

A pregunta oportuna é: debe facelo ou non?

A probabilidade de que o concursante escolla na súa primeira oportunidade a porta que oculta o coche é de 1/3, polo que a probabilidade de que o coche se atope nunha das portas que non escolleu é de 2/3. Que muda cando o presentador mostra unha cabra tras unha das outras dúas portas?

Unha suposición errónea é que, unha vez só fiquen dúas portas, ambas teñen a mesma probabilidade (é 1/2) de conter o coche. É errónea xa que o presentador abre a porta despois da elección do xogador. Isto é, a elección do xogador afecta á porta que abre o presentador. Non é un suceso aleatorio nin inconexo.

Se o xogador escolle na súa primeira opción a porta que contén o coche (cunha probabilidade de 1/3), entón o presentador pode abrir calquera das outras dúas portas. Ademais, o xogador perde o coche se cambia cando se lle ofrece a oportunidade, posto que acertara na primeira escolla.

Mais, se o xogador escolle unha cabra na súa primeira opción (cunha probabilidade de 2/3), o presentador só ten a opción de abrir unha porta, e esta é a única porta restante que contén unha cabra. Nese caso, a porta restante ten que conter o coche, polo que mudando gaña o coche con seguridade, posto que escollera unha cabra na primeira opción.

En resumo, se mantén a súa elección orixinal gaña se escolleu orixinalmente o coche (con probabilidade de 1/3), mentres que se muda, gaña se escolleu orixinalmente unha das dúas cabras (con probabilidade de 2/3). Por tanto, o concursante debe cambiar a súa elección se quere maximizar a probabilidade de gañar o coche.^[1]

A solución cunha ecuación matemática para un problema xenérico cun total de t portas totais, n portas escollidas ao principio e l portas que se abren nas que non está o coche.

${\displaystyle P[A]=100\times {\frac {n+l}{t}\%}$

• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
• Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
• Joseph Bertrand (1889) Calcul des probabilites
• Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." The Mathematical Intelligencer, 2011 ^{[Ligazón morta]}
• Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.

• Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
• Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
• Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
• Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
• Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
• Ziemer, Rodger E. (1997). Elements of Engineering Probability & Statistics. Prentice Hall, pp. 31-32.