Recta de Simson
Recta de Simson en relación a un triángulo é calquera recta que une os pés das perpendiculares aos lados do triángulo, trazadas desde un punto da circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben o seu nome en honra a Robert Simson (1687-1768) aínda que os historiadores das matemáticas non atoparon evidencia da súa autoría. Dado que a primeira publicación coñecida na que aparecen estas rectas, datada en 1797 e pertencente a William Wallace, en ocasións denomínase a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.[1]
Teorema de Wallace-Simson
En xeral, se se trazan perpendiculares desde un punto calquera do plano (exterior ou interior ao triángulo), os pés desas perpendiculares non son colineares senón que forman un triángulo denominado triángulo pedal. A colinearidade dos tres pés das perpendiculares é característica dos puntos da circunferencia circunscrita:
|
É dicir, non só os pés das perpendiculares trazados desde un punto na circunferencia circunscrita son colineares, senón que estes puntos son os únicos que posúen esa propiedade.
Diagrama para a demostración
| |
|---|---|
|
Primeiro demostrarase que os puntos na circunferencia teñen a propiedade de que os pés das perpendiculares trazados dende aí son colineares. De acordo co diagrama, sexan ABC os lados do triángulo, X, Y, Z os pés das perpendiculares respectivos sobre os lados CA, AB, BC e supóñase P no arco AC da circunferencia circunscrita. A idea central da proba será demostrar que os ángulos CYX e AYZ son iguais e polo tanto que XY e YZ forman unha mesma liña recta.
Das dúas últimas observacións, dado que os ángulos ABX e ABC son iguais, séguese que os ángulos XPZ e CPA son iguais. Restando a ambos o valor do ángulo XPA resulta: e polo tanto
Así, sendo os ángulos CYX e AYZ son iguais e comparten AC como un lado, deben ser opostos polo vértice e polo tanto XYZ é unha liña recta. As distintas configuracións que aparecen dependendo da posición relativa de P respecto á posición de A, B, C pódense reducir á proba anterior renomeando os puntos involucrados. Agora, a segunda parte da proba corresponde a demostrar que se un punto é tal que os pés das perpendiculares que se trazan dende el son colineares, entón o punto está sobre a circunferencia. Etiquetando os vértices do triángulo de modo que o punto se atope no interior do ángulo ABC e o diagrama das perpendiculares corresponda á figura anterior, pódense repetir todos os pasos en orde inversa para concluír que PABC necesariamente é un cuadrilátero cíclico e polo tanto que P está na circunferencia circunscrita de ABC. Isto é posible porque os dous resultados usados son equivalencias lóxicas:
|
Propiedades
- A recta de Simson dun vértice do triángulo é a altura do triángulo trazada desde ese mesmo vértice.
- A recta de Simson dun punto diametralmente oposto a un vértice é o lado formado polos outros dous vértices.
- O ángulo formado entre as rectas de Simson de dous puntos P, Q é exactamente igual á metade do ángulo central do arco PQ.
- A recta de Simson dun punto P pasa polo punto medio do segmento PH, onde H representa o ortocentro do triángulo. Ademais, ese punto de intersección está sobre a circunferencia dos nove puntos.
- A envolvente de todas as liñas de Simson é un deltoide denominado deltoide de Steiner.
Notas
- ↑ H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. Serie «La tortuga de Aquiles», No.1, outono de 1993. Proyecto Euler. Tradución ao castelán de Geometry Revisited, editado pola Mathematical Association of America.
Véxase tamén
Bibliografía
A.I. Fetísov. Acerca da demostración en xeometría, Editorial Mir Moscova (1980): Dá unha demostración da proposición sobre unha circunferencia circunscrita a un triángulo e a colinearidade dos pés de perpendiculares trazadas dun punto circunferencial aos tres lados do triángulo.
Outros artigos
- Cuadrilátero cíclico
- Triángulo pedal
