Sumas parciais

En matemáticas, o sumatorio ${\displaystyle {\Big (}\sum {\Big )}$ é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total.^[1] Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, ^[a]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}.}$

A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$.

Onde i é o índice da suma; a_i é unha variable indexada que representa cada termo da suma; m é o índice inferior da suma e n é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número m ata o elmento número n indo o índice aumentando dun en un.^[b]

Isto lese como "suma de a_i, de i igual a m ata i igual a n".

Un exemplo que mostra a suma de algúns cadrados consecutivos:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

E outro exemplo é a suma dos primeiros n números da secuencia de Fibonacci

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}f_{i}=f_{n+2}-1.}$

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n.^[2] Por exemplo, pódese escribir que:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$.

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$ é a suma de ${\displaystyle f(x)}$ sobre todos os elementos ${\displaystyle x}$ no conxunto ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$ é a suma de ${\displaystyle \mu (d)}$ sobre todos os números enteiros positivos ${\displaystyle d}$ que dividen ${\displaystyle n}$.

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

${\displaystyle \sum _{i,j}$ é o mesmo que ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando ${\textstyle \prod }$, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{n}a_{i}.}$

Dada unha función f que se define sobre os enteiros do intervalo [m, n], cúmprese a seguinte ecuación:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$ onde

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$ é a derivada de f.

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}i^{j}{\biggr )}.}$

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza ${\displaystyle \Delta }$, definido por:

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

onde f é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función f, o problema é calcular a antidiferenza de f, unha función ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ tal que ${\displaystyle \Delta F=f}$. É dicir, ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$ Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como ^[3]

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que ${\displaystyle f(n)=n^{k}$ e, por linearidade, para cada función polinómica de n.

Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

e para calquera función decrecente f:

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

xa que o lado dereito é por definición o límite para ${\displaystyle n\to \infty }$ do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$ (distributiva).^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$ (conmutativa e asociativa).^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$ (desprazamento do índice).

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$ (bixección σ dun conxunto finito A nun conxunto B, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$ (subdividir unha suma, usando asociatividade).

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$ (outra variante da anterior).

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)}$.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)}$.

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}^{k_{1}\sum _{j=l_{0}^{l_{1}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}^{l_{1}\sum _{i=k_{0}^{k_{1}a_{i,j}\quad }$ (conmutatividade e asociatividade).

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$ (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$ (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$ (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$ (distributiva).

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}{c_{j}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }$ (A distributividade permite a factorización).

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)}$.

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}$.

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$ para calquera función ${\textstyle f}$ de ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$ para todo c que non depende de i.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}$.^[3]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$ (Suma dos primeiros números naturais impares).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$ (Suma dos primeiros números naturais pares).

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$ (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}={\frac {n^{3}{3}+{\frac {n^{2}{2}+{\frac {n}{6}$. ^[3]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}\right)^{2}={\frac {n^{4}{4}+{\frac {n^{3}{2}+{\frac {n^{2}{4}\qquad }$ (Teorema de Nicómaco) ^[3]

Nos seguintes sumatorios, asúmese que a é diferente de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}{1-a}$ (suma dunha progresión xeométrica).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}=2-{\frac {1}{2^{n-1}$ (caso especial para a = 1/2).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}{(1-a)^{2}$ (a veces a derivada en relación a a da progresión xeométrica).

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}{1-a}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}{(1-a)^{2}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}{1-a}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}\end{aligned}$

(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$ o teorema do binomio.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$ caso especial onde a = b = 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, o caso especial onde p = a = 1 − b, que, para ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$ expresa a suma da distribución binomial.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$ o valor en a = b = 1 da derivada con respecto a a do teorema do binomio.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1},}$ o valor en a = b = 1 da antiderivada con respecto a a do teorema do binomio.

Nos seguintes sumatorios, ${\displaystyle {}_{n}P_{k}$ é o número de k-permutacións de n.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$, onde e ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ denota a función chan.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}={\binom {n+m+1}{n+1}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}=H_{n}\quad }$ (o n-ésimo número harmónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}=H_{n}^{k}\quad }$ (o número harmónico xeneralizado)

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8. 

• Notación pi maiúscula.
• Sumatorio por partes