Sumatorio de Euler

Nas matemáticas de series converxentes e diverxentes, a suma de Euler é un método de suma. É dicir, é un método para asignar un valor a unha serie, diferente do método convencional de tomar límites de sumas parciais. Dada unha serie Σa_n, se a súa transformada de Euler converxe nunha suma, entón esa suma chámase suma de Euler da serie orixinal. A maiores de utilizarse para definir valores para series diverxentes, a suma de Euler pódese usar para acelerar a converxencia das series.

A suma de Euler pódese xeneralizar nunha familia de métodos indicados como (E, q), onde q ≥ 0. A suma (E, 1) é a suma ordinaria de Euler. Todos estes métodos son estritamente máis débiles que a suma de Borel; para q > 0 son incomparábeis coa suma de Abel.

Para algún valor y podemos definir a suma de Euler (se converxe para ese valor de y) correspondente a unha suma formal particular como:

${\displaystyle _{E_{y}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}y^{j+1}a_{j}.}$

Se todas as sumas formais converxen, a suma de Euler será igual ao lado esquerdo. Porén, usar a suma de Euler pode acelerar a converxencia (isto é especialmente útil para alternar series); ás veces tamén pode dar un significado útil ás sumas diverxentes.

Para xustificar o enfoque, observe que para a suma trocada, a suma de Euler redúcese á serie inicial, porque

${\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}=1.}$

Este método en si non se pode mellorar mediante unha aplicación iterativa, xa que

${\displaystyle _{E_{y_{1}{}_{E_{y_{2}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}{1+y_{1}+y_{2}\sum .}$

• Usando y = 1 para a suma formal

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)}$ conseguimos

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}(-1)^{j}P_{k}(j),}$se P_k é un polinomio de grao k. Teña en conta que a suma interna sería cero para i > k, polo que neste caso a suma de Euler reduce unha serie infinita a unha suma finita.

• A elección particular

${\displaystyle P_{k}(j):=(j+1)^{k}$ proporciona unha representación explícita dos números de Bernoulli, xa que

${\displaystyle {\frac {B_{k+1}{k+1}=-\zeta (-k)}$ (función zeta de Riemann ). De feito, a suma formal neste caso diverxe xa que k é positiva, mais aplicando a suma de Euler á función zeta (ou mellor dito, á función eta de Dirichlet relacionada) produce (cf. Serie globalmente converxente)

${\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}(-1)^{j}(j+1)^{k}$ que é unha forma pechada.

• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}\right)^{i}$

Cunha escolla adecuada de y (é dicir, igual ou próximo a −1/z ) esta serie converxe a 1/1 − z

• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 3-540-21058-X. 
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press. ISBN 0-19-853585-6. 
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis Second Edition. Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-00288-4. 

• Transformación binomial
• Suma de Borel
• Suma de Cesàro
• Suma de Lambert
• Fórmula de Perron
• Teoremas abelianos e tauberianos
• Fórmula de Abel-Plana
• Fórmula da suma de Abel
• Transformmación de Van Wijngaarden
• Suma de Euler-Boole
• Serie diverxente