אגד וקטורי

במתמטיקה, אגד וקטורי הוא מבנה גאומטרי הנוצר מהדבקה של מרחבים וקטוריים לכל נקודה במרחב X, וקשירתם זה לזה באופן רציף. לדוגמה, כיוון התנועה הרגעי של מטוס מתמרן הוא אגד וקטורי, הקרוי "האגד המשיק" למסלול שבו נע המטוס. אגד וקטורי על מרחב (מרחב טופולוגי, יריעה חלקה וכדומה) הוא בדרך כלל מרחב מאותו סוג.

הבניה מאפשרת לחקור עצמים גאומטריים מורכבים בשיטות ליניאריות, והיא מהווה מרכיב יסודי בגאומטריה אלגברית, גאומטריה דיפרנציאלית ותחומים נוספים במתמטיקה.

נניח למשל ${\displaystyle \,y=f(x)}$ היא עקומה רציפה במישור האוקלידי, שאינה עוברת דרך ראשית הצירים. לכל נקודה ${\displaystyle \,(x,f(x))}$ על גרף הפונקציה נוכל להעביר ישר ${\displaystyle \,L_{x}$ העובר דרך הראשית ודרך הנקודה ${\displaystyle \,(x,f(x))}$ שעל גרף הפונקציה (ראו איור משמאל). מכיוון שישר העובר דרך הראשית הוא תת-מרחב וקטורי (ממימד 1) של ${\displaystyle \,\mathbb {R} ^{2}$, הרי שבדרך זו התאמנו לכל נקודה ${\displaystyle \,(x,f(x))}$ על גרף הפונקציה מרחב וקטורי ${\displaystyle \,L_{x}$. אוסף המרחבים הווקטורים הללו "משתנה בצורה רציפה", ולפיכך מהווה אגד וקטורי רציף מעל המרחב המוגדר על ידי גרף הפונקציה f.

הדוגמה הפשוטה ביותר לאגד וקטורי היא משפחה קבועה של מרחבים וקטורים, כלומר, יש מרחב וקטורי קבוע V כך שלכל x ב X מתקיים V(x) = V. במקרה זה יש עותק של V לכל נקודה ב-X, ועותקים אלו יוצרים את האגד הווקטורי X×V מעל X. אגד כזה נקרא אגד טריוויאלי.

דוגמה מעט מסובכת יותר היא האגד המשיק של יריעה חלקה X: לכל נקודה ביריעה כזאת מתאימים את המרחב המשיק באותה נקודה. האגד המשיק הוא בדרך כלל אגד לא טריוויאלי.

נניח כי X הוא מרחב טופולוגי. כאמור, האגד הווקטורי הפשוט ביותר מעל X הוא האגד בו המרחבים הווקטורים כלל אינם משתנים מנקודה לנקודה, כלומר האגד הטריוויאלי ${\displaystyle \,X\times \mathbb {R} ^{r}$. בדומה להגדרה של יריעות, נשתמש באגד הטריוויאלי כ"מודל מקומי" לאגד וקטורי כללי. במילים אחרות, נדרוש שבאופן מקומי כל אגד וקטורי E יראה כמו האגד הטריוויאלי. דרישה זו נקראת הטריוויאליזציה המקומית של האגד, ובשפה מתמטית היא מוגדרת כך: נדרוש כי לכל ${\displaystyle \,x\in X}$ תהייה קיימת סביבה ${\displaystyle U\subseteq X}$ של x כך שאם נסתכל על החלק של האגד E אשר "נמצא מעל U", אז יתקיים ${\displaystyle \,E|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}$. בנוסף לדרישת הטריוויאליזציה המקומית, בדומה לאפשרות לבצע "מעבר קואורדינטות חלק" ביריעות חלקות, נדרוש שבהינתן שתי טריוויאליזציות מקומיות על קבוצות פתוחות ${\displaystyle \,U_{1}$ ו-${\displaystyle \,U_{2}$ הנחתכות, אז המעבר בין שתי הטריוויאליזציות יהיה פונקציה רציפה (או חלקה) וליניארית על כל מרחב וקטורי.

יהי X מרחב טופולוגי. אגד וקטורי (רציף) E מעל X ממימד r הוא מרחב טופולוגי E, ביחד עם העתקה רציפה ${\displaystyle \pi :E\to X}$ כך ש${\displaystyle \pi }$ היא העתקה על, וכך שמתקיימים התנאים הבאים:

1. לכל ${\displaystyle x\in X}$ לקבוצה ${\displaystyle \ \pi ^{-1}(x)}$ יש מבנה של מרחב וקטורי ממימד r.
2. לכל נקודה ${\displaystyle x\in X}$ קיימת קבוצה פתוחה U המכילה את x והומיאומורפיזם ${\displaystyle \phi :U\times \mathbb {R} ^{r}\to \pi ^{-1}(U)}$ כך שמתקיים:

• ${\displaystyle \pi \circ \phi (y,v)=y}$ לכל ${\displaystyle y\in U}$ ולכל ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{r}$.
• הפונקציה ${\displaystyle v\mapsto \phi (y,v)}$ היא איזומורפיזם של המרחבים הווקטורים ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}$ ו-${\displaystyle \ \pi ^{-1}(y)}$ לכל ${\displaystyle y\in U}$

הפונקציה ${\displaystyle \phi }$ תיקרא טריוויאליזציה מקומית של האגד E. הרעיון הבסיסי הוא שהאגד E נראה באופן מקומי בדיוק כמו ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{r}$, אך באופן גלובלי האגד משתנה בצורה רציפה כך שאינו טריוויאלי.

נניח כעת ש-X היא יריעה דיפרנציאלית. על מנת ש-E לעיל יקרא אגד וקטורי חלק נדרוש בנוסף את התנאים הבאים:

1. ל-E מבנה של יריעה דיפרנציאלית.
2. ההעתקה ${\displaystyle \pi :E\to X}$ היא פונקציה חלקה של יריעות.
3. כל הטריוויאליזציות המקומיות ${\displaystyle \phi :U\times \mathbb {R} ^{r}\to \pi ^{-1}(U)}$ הן דיפאומורפיזמים.
4. בהינתן שתי קבוצות פתוחות ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ עם חיתוך לא ריק, וטריוויאליזציות מקומיות ${\displaystyle \phi _{U},\phi _{V}$ הפונקציה ${\displaystyle {\phi _{V}^{-1}\circ \phi _{U}:(U\cap V)\times \mathbb {R} ^{r}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{r}$ היא מהצורה ${\displaystyle {\phi _{V}^{-1}\circ \phi _{U}(x,v)=(x,f_{U,V}(x)\cdot v)}$ לכל ${\displaystyle x\in U\cap V}$ו-${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}$ כאשר נדרוש שהפונקציה ${\displaystyle f_{U,V}:U\cap V\to \mathbf {GL} (r,\mathbb {R} )}$ היא פונקציה חלקה.

באופן דומה ניתן להגדיר אגד וקטורי אנליטי (הולומורפי) מעל יריעה אנליטית.

אגד וקטורי ממימד 1 נקרא אגד קווי (באנגלית - Line bundle).

1. לכל מרחב טופולוגי X קיים האגד הטריוויאלי ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{r}$ ביחד עם פונקציית הזהות כטריוויאליזציה בודדת.
2. האגד המשיק ליריעה דיפרנציאלית הוא דוגמה לאגד חלק.

תהי X יריעה דיפרנציאלית ויהי ${\displaystyle \pi :E\mapsto X}$ אגד וקטורי חלק מעל X. בהינתן קבוצה פתוחה U ב-X, חתך של E מעל U הוא פונקציה חלקה ${\displaystyle f:U\to E}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in U}$ הערך ${\displaystyle \ f(x)}$ שייך לסיב ${\displaystyle E_{x}$. במילים אחרות, לכל ${\displaystyle x\in U}$ מתקיים ${\displaystyle \pi \circ f(x)=x}$. אפשר לחשוב על חתך כפונקציה המתאימה לכל נקודה וקטור מהסיב ${\displaystyle E_{x}$ כך שהווקטורים הללו משתנים באופן רציף (או חלק, במקרה של יריעה חלקה) מנקודה לנקודה.

נשים לב שניתן לחבר 2 חתכים מעל קבוצה פתוחה U, וכן להכפיל חתך בסקלר, וכן קיים חתך האפס (החתך המתאים לכל נקודה את וקטור האפס במרחב הווקטורי המתאים) ולפיכך לאוסף החתכים מעל קבוצה פתוחה יש בעצמו מבנה של מרחב וקטורי. למעשה, ההתאמה המתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף החתכים מעל U מהווה אלומה. ניתן להוכיח שאלומה זאת מגדירה את האגד הווקטורי E באופן יחיד, ולפיכך ניתן לזהות את האגד הווקטורי E עם אלומת החתכים שלו, ובכך לראות בכל אגד וקטורי מקרה פרטי של אלומה של מרחבים וקטורים.

חתך חלק של האגד המשיק של יריעה חלקה נקרא שדה וקטורי.

יהיו ${\displaystyle X_{1}$ ו- ${\displaystyle X_{2}$ יריעות דיפרנציאלית. בהינתן שני אגדים וקטורים חלקים ${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\mapsto X_{1}$ ו-${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\mapsto X_{2}$, מורפיזם של אגדים וקטורים ${\displaystyle f:E_{1}\mapsto E_{2}$ הוא פונקציה חלקה f בין היריעות ${\displaystyle E_{1}$ ו-${\displaystyle E_{2}$ ופונקציה חלקה ${\displaystyle g:X_{1}\mapsto X_{2}$ כך ש:

• הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית

• לכל ${\displaystyle x\in X_{1}$ הפונקציה ${\displaystyle f:{\pi _{1}^{-1}(x)\mapsto {\pi _{2}^{-1}(g(x))}$ היא העתקה ליניארית של מרחבים וקטורים.

• Lectures on Riemann Surfaces, by Otto Forster, Springer 1981

מדיה וקבצים בנושא אגד וקטורי בוויקישיתוף

• אגד וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)