גבול (מתמטיקה)

	יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
	הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

ערך זה עוסק בגבול מתמטי. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו גבול (פירושונים).

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, גבול של תהליך אינסופי (למשל סדרה אינסופית של מספרים, או של נקודות במרחב) הוא איבר בודד המייצג את ההתנהגות ארוכת הטווח של התהליך. זהו מושג יסודי באנליזה מתמטית, ובהתאם לכך קיימים גבולות של סדרות, של פונקציות, ואף של סדרות של פונקציות.

לדוגמה, גבול של סדרה אינסופית של מספרים ממשיים הוא בדרך כלל מספר ממשי שכל אברי הסדרה למעט מספר סופי מהם נמצאים במרחק קטן ממנו, ויהי המרחק קטן ככל שיהיה (הגדרות פורמליות תינתנה בהמשך). ייתכן גם שגבול של סדרה לא יהיה מספר סופי אלא אין סוף (שסימנו ${\displaystyle \infty }$) או מינוס אין סוף (${\displaystyle -\infty }$).

כאשר לסדרה יש גבול נהוג לומר שהסדרה מתכנסת לגבול זה. בדרך כלל התכנסות מוגדרת במרחבים מטריים, בהם מרחק בין נקודות הוא מספר ממשי חיובי (למשל המרחק בין נקודות במישור או במרחב הוא אורך הקטע המחבר בינהן). הגדרה רחבה יותר של התכנסות קיימת במרחבים טופולוגיים.

כך למשל, גבולה של הסדרה ההרמונית ${\displaystyle \ 1,{\frac {1}{2},{\frac {1}{3},{\frac {1}{4},\dots }$ הוא אפס, וגבולה של הסדרה ${\displaystyle (0,-1,-2,-3,...,-n,-(n+1),...)}$ הוא מינוס אינסוף (${\displaystyle -\infty }$). סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת, וסדרה שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. למשל הסדרה ${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,....)}$ היא סדרה מתבדרת. מההגדרה משתמע שלסדרה מתכנסת יש גבול יחיד.

היסטוריה

את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ההלניים, ובראשם ארכימדס. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסויימים שקשה לחשב את שטחם באופן ישיר (כמו מעגל), וגם את ערכו של פאי, מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המבוקש (למשל מעגל) הוא גבולה של סדרת השטחים של הגופים בסדרה, או לחילופין שסדרת השטחים של הגופים בסדרה מתכנסת לשטחו של הגוף המבוקש.

רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו לייבניץ וניוטון את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.

את ההדורים האלה יישר המתמטיקאי קושי, שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל-2, המרחק בין ערכה של הפונקציה ${\displaystyle \ f(x)={\frac {x^{2}-4}{x-2}$ לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי ${\displaystyle \ \varepsilon }$, קיים מספר חיובי ${\displaystyle \ \delta }$, כך שאם המרחק מ- ${\displaystyle x}$ ל-2 אינו עולה על ${\displaystyle \ \delta }$, אז המרחק מ- ${\displaystyle \ f(x)}$ ל-4 אינו עולה על ${\displaystyle \ \varepsilon }$". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו לקושי וויירשטראס להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום.

גבולות שונים

• גבול של סדרת מספרים. הטיפוס הבסיסי של גבול הוא גבול של סדרה אינסופית של מספרים ממשיים, שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה.

גבול של סדרה כזו ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n},...)}$ נהוג לסמן בצורה הבאה: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$. ההגדרה המילולית המדוייקת היא: לכל מספר חיובי (אך קטן כרצוננו) ${\displaystyle \ \varepsilon }$, קיים מספר טבעי ${\displaystyle n_{\varepsilon }$, כך שלכל ${\displaystyle n}$ הגדול מ ${\displaystyle n_{\varepsilon }$, המרחק בין ${\displaystyle a_{n}$ ל L קטן מ ${\displaystyle \ \varepsilon }$

• גבול של פונקציה בנקודה. או התכנסות נקודתית של פונקציה. מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, המתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה, כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת או גדל בלי הגבלה, או קטן בלי הגבלה. המתמטיקאי הגרמני היינריך אדוארד היינה הציע להגדיר גבול של פונקציה בנקודה באמצעות גבולות של סדרות, והגדרה זו שקולה להגדרה המקובלת יותר שהציע קושי, שניתנה קודם לכן. גבול של פונקציה נהוג לסמן בצורה הבאה: ${\displaystyle \lim _{n\to c}f(n)=L}$.
• התכנסות נקודתית של פונקציה בתחום ההגדרה שלה ( תחום ההגדרה יכול להיות למשל כל המספרים הממשיים החיוביים). המשמעות היא התכנסות בכל נקודה בתחום ההגדרה. דוגמה: הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}$ מתכנסת נקודתית בכל תחום של מספרים ממשיים שאינו מכיל את המספר 0.
• התכנסות במידה שווה של פונקציה בתחום ההגדרה שלה. זו התכנסות חזקה יותר מהתכנסות הנקודתית. בעוד שבהתכנסות נקודתית לא קיים חסם תחתון חיובי על קצב ההתכנסות, כלומר הוא יכול להיות קטן כרצוננו, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות גדול מערך חיובי מסויים לכל הנקודות בתחום ההגדרה. למשל הפונקציה ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}$ מתכנסת במידה שווה לכל המספרים הגדולים מ 1, אך אינה מתכנסת במידה שווה עבור כל המספרים הגדולים מ 0.
• גבול של סדרת פונקציות:
  • התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות בתחום ההגדרה שלהן. למשל הסדרה ${\displaystyle f_{n}(x)=x+1/n}$ , כאשר ${\displaystyle n=1,2,...}$, מתכנסת לפונקציה ${\displaystyle f(x)=x}$ לכל תחום של מספרים ממשיים.
  • התכנסות במידה שווה של סדרות פונקציות, בתחום ההגדרה שלהן. התכנסות כזו מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.
• גבול במרחבים מטריים. בכל הדוגמאות לעיל התכנסות נקבעת על פי המרחק בין האובייקטים השונים לבין הגבול. כאשר מרחק בין אובייקטים שונים הוא מספר ממשי חיובי. הגדרות דומות מאוד תקפות גם עבור גבולות של סדרות או פונקציות המוגדרות על מרחב מטרי כלשהו (למשל המרחב התלת ממדי).
• גבולות במרחבים טופולוגיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבולות בכל מרחב טופולוגי. במרחבים כאלו, סדרה ${\displaystyle (x_{1},x_{2},..)}$ מתכנסת לגבול L אם עבור כל סביבה פתוחה B של L, כל אברי הסדרה למעט מספר סופי נמצאים בB. ראו הרחבה בקישור זה.

ראו גם

• אריתמטיקה של גבולות
• הגדרת הגבול לפי קושי

לקריאה נוספת

• טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "גבולות ואינסוף", עמ' 72–86.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: גדל אינסופי
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: גבול (מתמטיקה)

• גדי אלכסנדרוביץ', גבול - סדרת פוסטים, באתר "לא מדויק"
• מחשבון גבולות
• ❤² Introduction to Limits (mathbff) - מבוא לגבולות
• גבול, באתר MathWorld (באנגלית)
• גבול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)