חלום המתחיל (מתמטיקה)

	ערך שניתן לשפר את מקורותיו
	בערך זה יש מקורות, אבל ניתן וכדאי לשפר את המקורות שכבר קיימים בו, וכן המקורות שבורים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה. (14 בדצמבר 2024)

חלום השנה הראשונה הוא כינוי לשוויון השגוי ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$, שבו ${\displaystyle n}$ הוא מספר ממשי (בדרך כלל שלם חיובי הגדול מ-1) ו-${\displaystyle x,y}$ הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב חזקה של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות מתפלגות על סכומים.^[1][2]

החישוב הנכון של החזקה ${\displaystyle (x+y)^{n}$ נעשה על ידי משפט הבינום. למשל, כאשר ${\displaystyle n=2}$, נוסחאות הכפל המקוצר מראות שהביטוי ${\displaystyle (x+y)^{2}$ שווה ל-${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}$, ולא ל-${\displaystyle x^{2}+y^{2}$.

השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור מספר ראשוני ${\displaystyle p}$, אם ${\displaystyle x}$ ו-${\displaystyle y}$ הם איברים מתחלפים בחוג בעל מאפיין ${\displaystyle p}$, אז ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$. במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן ${\displaystyle p}$ מחלק את כל המקדמים הבינומיים מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$, אבל ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}$ לא שווה ל-${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+{\sqrt {y^{2}=|x|+|y|}$. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים ${\displaystyle {\sqrt {9+16}={\sqrt {25}=5}$, אבל זה לא שווה ל-3 + 4 = 7. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה ${\displaystyle n=1/2}$.

כאשר ${\displaystyle p}$ הוא מספר ראשוני ו-${\displaystyle x}$ ו-${\displaystyle y}$ הם חברים בחוג חילופי בעל מאפיין ${\displaystyle p}$, אז ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$. ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:

${\displaystyle {\binom {p}{n}={\frac {p!}{n!(p-n)!}.}$

המונה הוא ${\displaystyle p}$ עצרת (!), שהיא מתחלקת ב-${\displaystyle p}$. עם זאת, כאשר ${\displaystyle 0<n<p}$, גם ${\displaystyle n!}$ וגם ${\displaystyle (p-n)!}$ זרים ל-${\displaystyle p}$, שכן כל הגורמים קטנים מ-${\displaystyle p}$ ו-${\displaystyle p}$ הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור ${\displaystyle n}$ בין ${\displaystyle 1}$ ל-${\displaystyle p-1}$ מתחלקים ב-${\displaystyle p}$ ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.

לכן, במאפיין ${\displaystyle p}$, חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת ${\displaystyle p}$ יוצרת אנדומורפיזם, הידוע כאנדומורפיזם פרובניוס של החוג.

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "חלום המתחיל (מתמטיקה)".