כלל הסימנים של דקארט

במתמטיקה, כלל הסימנים של דקארט (באנגלית: Descartes' rule of signs), שתואר לראשונה על ידי רנה דקארט בספרו הגאומטריה מ-1637, נותן חסם עליון על מספר השורשים הממשיים החיוביים או שליליים של פולינום (השונה מפולינום האפס). הכלל אינו קריטריון שלם, משום שאינו מספק תהליך לקביעת המספר המדויק של שורשים ממשיים חיוביים או שליליים.

הכלל מיושם באמצעות ספירה של מספר הפעמים בהן מתחלף הסימן בסדרה שיוצרים מקדמי הפולינום. אם מקדם כלשהו הוא אפס, אז הוא לא נחשב לחלק מהסדרה.

ניסוח הכלל

שורשים חיוביים

הכלל קובע שאם האיברים של פולינום במשתנה אחד עם מקדמים ממשיים מסודרים כך שהמעריכים שלהם מהווים סדרה יורדת, אז מספר השורשים החיוביים של הפולינום חסום מלעיל על ידי מספר שינויי הסימן בין מקדמים עוקבים שונים מאפס. גאוס שיפר את הכלל ב-1828 והוסיף כי אם מספר השורשים החיוביים נמוך מהחסם, אז ההפרש ביניהם הוא תמיד מספר זוגי. יש לשים לב ששורשים שחוזרים על עצמם נספרים בנפרד, כלומר בהתאם לריבוי האלגברי שלהם.

שורשים שליליים

כהיקש מן הכלל, מספר השורשים השליליים הוא מספר חילופי הסימן לאחר שמכפילים את כל המקדמים של החזקות ממעלות אי-זוגיות ב-1-, או קטן ממנו במספר זוגי.

דוגמה

לפולינום:

${\displaystyle f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1\,}$

יש חילוף סימן אחד בין האבר השני לשלישי (סדרת הזוגות של סימני מקדמים עוקבים היא --,-+,++), לפיכך חייב להיות לו שורש ממשי חיובי אחד. כדי למצוא את מספר השורשים השליליים, נשנה את המקדמים של האיברים ממעלות אי זוגיות, כלומר ניישם את כלל הסימנים של דקארט לפולינום ${\displaystyle f(-x)}$, ונקבל את פולינום שני:

${\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1\,}$

לפולינום זה יש שני חילופי סימן (סדרת הזוגות של סימני מקדמים עוקבים היא -+,++,+-), מה שאומר שלפולינום זה יש שניים או אפס שורשים חיוביים; לכן לפולינום המקורי יש שניים או אפס שורשים שליליים. למעשה, הפירוק לגורמים של הפולינום הראשון הוא:

${\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}(x-1),\,}$

כך שהשורשים הם מינוס אחד (פעמיים), ו-1.

קישורים חיצוניים

• כלל הסימנים של דקארט, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלל הסימנים של דקארט, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)