סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד
גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג צורן (סיליקון)
בפיזיקת המצב המוצק , משפט בלוך מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי , דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך .
המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928[1] .
למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות .
ניסוח מתמטי
למשפט מספר ניסוחים שקולים.
ניסוח ראשון
אם
V
(
r
→
)
{\displaystyle V({\vec {r})}
הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים
V
(
r
→
+
R
→
)
=
V
(
r
→
)
{\displaystyle V({\vec {r}+{\vec {R})=V({\vec {r})}
עבור כל וקטור הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}
, אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:
פונקציית בלוך
ψ
k
→
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
r
→
u
k
→
(
r
→
)
{\displaystyle \psi _{\vec {k}({\vec {r})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {r}u_{\vec {k}({\vec {r})}
כאשר לפונקציה
u
{\displaystyle u}
יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל
r
→
{\displaystyle {\vec {r}
בסריג ולכל הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}
מתקיים
u
k
→
(
r
→
+
R
→
)
=
u
k
→
(
r
→
)
{\displaystyle u_{\vec {k}({\vec {r}+{\vec {R})=u_{\vec {k}({\vec {r})}
.
פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן
H
=
p
→
2
2
m
+
V
(
r
→
)
{\displaystyle {\mathcal {H}={\frac {\vec {p}^{2}{2m}+V({\vec {r})}
עבור האלקטרונים.
ניסוח שני
בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור
k
→
{\displaystyle {\vec {k}
, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}+{\vec {R})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}\psi ({\vec {r})}
לכל הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}
.
הוכחה
המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים (Independent electron approximation ) :
H
=
p
→
2
2
m
+
V
(
r
→
)
{\displaystyle {\mathcal {H}={\frac {\vec {p}^{2}{2m}+V({\vec {r})}
.
נגדיר וקטור סריג:
R
→
≡
n
1
a
→
1
+
n
2
a
→
2
+
n
3
a
→
3
{\displaystyle {\vec {R}\equiv n_{1}{\vec {a}_{1}+n_{2}{\vec {a}_{2}+n_{3}{\vec {a}_{3}
כאשר
a
→
2
{\displaystyle {\vec {a}_{2}
,
a
→
1
{\displaystyle {\vec {a}_{1}
ו־
a
→
3
{\displaystyle {\vec {a}_{3}
הם וקטורי סריג פרימיטיביים (
n
1
,
n
2
,
n
3
∈
Z
{\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }
).
נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור
R
→
{\displaystyle {\vec {R}
כלשהו כמוגדר לעיל:
T
R
→
f
(
r
→
)
≡
f
(
r
→
+
R
→
)
{\displaystyle T_{\vec {R}f({\vec {r})\equiv f({\vec {r}+{\vec {R})}
.
מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים
V
(
r
→
+
R
→
)
=
V
(
r
→
)
{\displaystyle V({\vec {r}+{\vec {R})=V({\vec {r})}
עבור כל
R
→
{\displaystyle {\vec {R}
כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג.
ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג
T
R
→
{\displaystyle T_{\vec {R}
:
T
R
→
(
H
(
r
→
)
ψ
(
r
→
)
)
=
H
(
r
→
+
R
→
)
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
H
(
r
→
)
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
H
(
r
→
)
T
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle T_{\vec {R}(H({\vec {r})\psi ({\vec {r}))=H({\vec {r}+{\vec {R})\psi ({\vec {r}+{\vec {R})=H({\vec {r})\psi ({\vec {r}+{\vec {R})=H({\vec {r})T_{\vec {R}\psi ({\vec {r})}
כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס:
[
H
,
T
R
→
]
=
0
{\displaystyle [H,T_{\vec {R}]=0}
.
כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:
{
H
ψ
n
(
r
→
)
=
E
n
ψ
n
(
r
→
)
T
R
→
ψ
n
(
r
→
)
=
C
(
R
→
)
ψ
n
(
r
→
)
{\displaystyle {\begin{cases}H\psi _{n}({\vec {r})=E_{n}\psi _{n}({\vec {r})\\T_{\vec {R}\psi _{n}({\vec {r})=C({\vec {R})\psi _{n}({\vec {r})\end{cases}
מכיוון שהזזה ב-
R
→
2
{\displaystyle {\vec {R}_{2}
ואחריה הזזה ב-
R
→
1
{\displaystyle {\vec {R}_{1}
שקולה להזזה ב-
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle {\vec {R}_{1}+{\vec {R}_{2}
, מתקיים:
C
(
R
→
1
+
R
→
2
)
ψ
(
r
→
)
=
T
R
→
1
+
R
→
2
ψ
(
r
→
)
=
T
R
→
1
T
R
→
2
ψ
(
r
→
)
=
C
(
R
→
1
)
C
(
R
→
2
)
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle C({\vec {R}_{1}+{\vec {R}_{2})\psi ({\vec {r})=T_{\vec {R}_{1}+{\vec {R}_{2}\psi ({\vec {r})=T_{\vec {R}_{1}T_{\vec {R}_{2}\psi ({\vec {r})=C({\vec {R}_{1})C({\vec {R}_{2})\psi ({\vec {r})}
ולכן:
C
(
R
→
1
+
R
→
2
)
=
C
(
R
→
1
)
C
(
R
→
2
)
{\displaystyle C({\vec {R}_{1}+{\vec {R}_{2})=C({\vec {R}_{1})C({\vec {R}_{2})}
הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט , ולכן:
C
(
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
{\displaystyle C({\vec {R})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}
.
לסיום:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
T
R
→
ψ
(
r
→
)
=
C
(
R
→
)
ψ
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}+{\vec {R})=T_{\vec {R}\psi ({\vec {r})=C({\vec {R})\psi ({\vec {r})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}\psi ({\vec {r})}
כלומר:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}+{\vec {R})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}\psi ({\vec {r})}
וזה הניסוח השני של המשפט.
בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.
גזירת הניסוח הראשון
נכפיל את שני האגפים ב־
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
{\displaystyle e^{-i{\vec {k}\cdot ({\vec {r}+{\vec {R})}
:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
e
−
i
k
→
⋅
R
→
=
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
{\displaystyle \psi ({\vec {r}+{\vec {R})e^{-i{\vec {k}\cdot ({\vec {r}+{\vec {R})}=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}\psi ({\vec {r})e^{-i{\vec {k}\cdot ({\vec {r}+{\vec {R})}=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {R}\psi ({\vec {r})e^{-i{\vec {k}\cdot {\vec {r}e^{-i{\vec {k}\cdot {\vec {R}=\psi ({\vec {r})e^{-i{\vec {k}\cdot {\vec {r}
נגדיר:
u
(
r
→
)
≡
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
{\displaystyle u({\vec {r})\equiv \psi ({\vec {r})e^{-i{\vec {k}\cdot {\vec {r}
ולכן:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
⇒
u
(
r
→
+
R
→
)
=
u
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}+{\vec {R})e^{-i{\vec {k}\cdot ({\vec {r}+{\vec {R})}=\psi ({\vec {r})e^{-i{\vec {k}\cdot {\vec {r}\Rightarrow u({\vec {r}+{\vec {R})=u({\vec {r})}
כלומר הפונקציה
u
(
r
→
)
{\displaystyle u({\vec {r})}
היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.
לפי ההגדרה של
u
(
r
→
)
{\displaystyle u({\vec {r})}
נקבל:
ψ
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
r
→
u
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r})=e^{i{\vec {k}\cdot {\vec {r}u({\vec {r})}
מ.ש.ל
לקריאה נוספת
Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)
הערות שוליים
^ יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר