סדרת מחלקים

במתמטיקה, סדרות מחלקים הן סדרות מספרים, שהראשון שבהם הוא מספר טבעי כלשהו, הבא אחריו הוא סכום המחלקים של הקודם (כולל 1, לא כולל את המספר עצמו), השלישי הוא סכום מחלקי השני, וכך הלאה.

נבחן לדוגמה את הסדרה עבור המספר 45:

$${\displaystyle 45\mapsto 33\mapsto 15\mapsto 9\mapsto 4\mapsto 3\mapsto 1}$$

הסדרה מסתיימת ב-1, שאין לו מחלקים אמיתיים. אפשר לעצור את הסדרה במספר הראשוני הראשון שמגיעים אליו (בדוגמה לעיל: 3), משום שהצעד הבא יהיה ממילא ל-1.

דוגמה שונה היא, כאשר הסדרה מסתיימת לתוך "שרשרת" של מספרים חברותיים או מספרים ידידותיים או במספר משוכלל. במקרים כאלו ניתן לכאורה להמשיך את הסדרה עד אינסוף, אך אין לכך כל ערך כי אותם מספרים יחזרו על עצמם שוב ושוב. לכן נהוג לומר במקרים אלו, כי הסדרה מסתיימת בשרשרת של מספרים חברותיים או בזוג מספרים ידידותיים או במספר משוכלל.

הסדרה הקצרה הבאה מסתיימת במספר 6 שהוא מספר משוכלל:

$${\displaystyle 95\mapsto 25\mapsto 6}$$

עיקר העניין בסדרות מחלקים, מתרכז בשאלה הבאה: ראינו שסדרת מחלקים מקיימת אחת משתי אפשרויות. האחת, היא מסתיימת לתוך מספר ראשוני. השנייה, היא נקלעת לסיבוב בתוך שרשרת של מספרים חברותיים (כולל ידידותיים ומשוכללים). האם קיימות סדרות כאלו שבהן ככל שנוסיף מספרים לסדרה לא ניתקל במספרים ראשוניים וגם לא נגיע לתוך שרשראות מספרים חברותיים/ידידותיים/משוכללים?

השערת קטלן (אין להחליף עם השערה אחרת בנושא הפרשים בין חזקות, הידועה אף היא בשם השערת קטלן) גורסת כי התשובה לשאלה דלעיל היא שלילית, אין סדרות מחלקים באורך אינסופי וכל סדרה כזו תסתיים באחת משתי האפשרויות המפורטות. השערה הפוכה גורסת, כי דווקא ישנם מספרים שסדרת המחלקים שלהם היא באורך אינסופי. עד היום לא נמצאה הוכחה לאחת ההשערות.

היו כמה מספרים שבעבר לא היה ידוע אם סדרת המחלקים שלהם מסתיימת, אך כיום נמצא שהם מסתיימים או במספר ראשוני או בשרשרת מספרים חברותיים/ידידותיים/משוכללים. המספר הנמוך ביותר שכיום לא נמצא עדיין הסיום של סדרת המחלקים שלו, הוא המספר - 276. סדרת המחלקים הידועה שלו כבר מונה למעלה מ-1500 מספרים, כשהאחרונים בסדרה שחושבו, הם בני למעלה מ-150 ספרות.
המספרים הראשונים בסדרת המחלקים (האינסופית?) עבור 276:

$${\displaystyle 276\mapsto 396\mapsto 696\mapsto 1104\mapsto 1872\mapsto 3770\mapsto 3790\mapsto 3050\mapsto 2716\mapsto 2772\mapsto 5964\mapsto \ldots }$$

קישורים חיצוניים

• מידע רב על סדרות מחלקים (באנגלית)
• סדרת מחלקים, באתר MathWorld (באנגלית)