סימן לז'נדר

סימן לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר) הוא מושג בתורת המספרים. מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי וסימן קרונקר הם הרחבות של סימן לז'נדר.

יהי ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני אי־זוגי ויהי ${\displaystyle a}$ מספר שלם. סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

${\displaystyle a}$ מתחלק ב־${\displaystyle p}$ ללא שארית. ${\displaystyle a}$ זר ל־${\displaystyle p}$ והוא שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle p}$. ${\displaystyle a}$ זר ל־${\displaystyle p}$ ואינו שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle p}$.

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}\right)={\begin{cases}0&:a\equiv 0{\pmod {p}&\\1&:a\not \equiv 0{\pmod {p},&a\equiv x^{2}{\pmod {p}\\-1&:a\not \equiv 0{\pmod {p},&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}\end{cases}$

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחה המפורשת:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\!\!\!{\pmod {p}\quad :\left({\frac {a}{p}\right)\in \{-1,0,1\}$

יהיו ${\displaystyle p,q}$ ראשוניים אי־זוגיים ו־${\displaystyle a,b}$ שלמים, אזי:

1. ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p}\right)=\left({\frac {a}{p}\right)\!\left({\frac {b}{p}\right)}$
2. ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}\right)=1}$
3. ${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}={\begin{cases}1&:p\equiv 1{\pmod {4}\\-1&:p\equiv 3{\pmod {4}\end{cases}$
4. ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {8}\\-1&:p\equiv \pm 3{\pmod {8}\end{cases}$
5. ${\displaystyle \left({\frac {3}{p}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {12}\\-1&:p\equiv \pm 5{\pmod {12}\end{cases}$
6. ${\displaystyle \left({\frac {5}{p}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {5}\\-1&:p\equiv \pm 2{\pmod {5}\end{cases}$
7. ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}\right)\!\left({\frac {q}{p}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}{\frac {q-1}{2}$ (משפט ההדדיות הריבועית)

• שארית ריבועית
• סימן יעקובי
• משפט ההדדיות הריבועית
• פולינום פקטה

• סימן לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)