פונקציות ברילואן ולנז'וון

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות ^{[דרושה הבהרה]} המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואן

פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן)^[1][2] היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}x\right)-{\frac {1}{2J}\coth \left({\frac {1}{2J}x\right)}$

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר ${\displaystyle x\to +\infty }$ ול-1- כאשר ${\displaystyle x\to -\infty }$.

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:^[1]

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)}$

כאשר:

• ${\displaystyle N}$ הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
• ${\displaystyle g}$ הוא פקטור g.
• ${\displaystyle \mu _{B}$ הוא מגנטון בוהר.
• ${\displaystyle x}$ הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית ${\displaystyle k_{B}T}$:

${\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}$

• ${\displaystyle k_{B}$ הוא קבוע בולצמן ו-${\displaystyle T}$ היא הטמפרטורה.

במערכת היחידות SI, השדה המגנטי ${\displaystyle B}$נמדד ביחידות טסלה ו-${\displaystyle B=\mu _{0}H}$ כאשר ${\displaystyle H}$ הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו-${\displaystyle \mu _{0}$ הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'ווין

בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי ${\displaystyle J\to +\infty }$. אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}$

עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:^[3]

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}x-{\tfrac {1}{45}x^{3}+{\tfrac {2}{945}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}x^{7}+\dots }$

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת ${\displaystyle \tanh(x)}$ כשבר משולב על פי למברט:

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}{5+{\tfrac {x^{2}{7+{\tfrac {x^{2}{9+\ldots }$

פונקציית לנז'וון ההפוכה ${\displaystyle L^{-1}(x)}$, מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:^[3]

${\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}x^{3}+{\tfrac {297}{175}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}x^{7}+\dots }$

גבול טמפרטורה גבוהה

כאשר ${\displaystyle x\ll 1}$, כלומר, כאשר ${\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T}$ קטן מאוד - בגבול טמפרטורה ${\displaystyle T}$ גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}$

כאשר, ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}{3k_{B}$ הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}\mu _{B}$.

גבול שדה רחוק

כאשר ${\displaystyle x\to +\infty }$ פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות ברילואן ולנז'וון בוויקישיתוף

הערות שוליים