הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל.
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית, המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
וזאת לכל שהחלק הממשי שלו, , הוא חיובי. פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול, המוגדר היטב לכל . משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.
תכונות
הקשר לפונקציית עצרת
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.
אם הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי
לכל מספר טבעי.
זהויות אחרות
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .
מכאן נובע כי
, ולכן .
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
לפונקציית גמא יש קוטב ב לכל טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.