קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n+1)^{2}={\frac {1}{1^{2}-{\frac {1}{3^{2}+{\frac {1}{5^{2}-{\frac {1}{7^{2}+\cdots \\&=0.915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774\ldots \end{aligned}$

כאשר ${\displaystyle \beta }$ היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\int \limits _{0}^{1}\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+(xy)^{2}\,dx\,dy\\G&=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {2t}{\sin(2t)}\,dt\\G&={\frac {1}{4}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\\G&=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\\G&=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}\,dt\\G&={\frac {1}{2}\int \limits _{0}^{1}{\rm {K}(t)\,dt\end{aligned}$

• כאשר ${\displaystyle {\rm {K}(t)}$ מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.

${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}\int \limits _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2})dx={\frac {\pi }{2}\int \limits _{0}^{0.5}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)dy\\G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}\left({\frac {1}{2(8n+1)^{2}-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}\right)\\&{}\quad -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}\left({\frac {1}{2^{2}(8n+1)^{2}+{\frac {1}{2^{3}(8n+2)^{2}+{\frac {1}{2^{5}(8n+3)^{2}-{\frac {1}{2^{8}(8n+5)^{2}-{\frac {1}{2^{9}(8n+6)^{2}-{\frac {1}{2^{11}(8n+7)^{2}\right)\\G&={\frac {\pi }{8}\log(2+{\sqrt {3})+{\frac {3}{8}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}{(2n)!(2n+1)^{2}\end{aligned}$

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}{\bigr )}=\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}{\bigl (}{\tfrac {3}{4}{\bigr )}=\pi ^{2}-8G\end{aligned}$

• קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים