Eksponencijalna funkcija

U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija f(x) = e^x gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logaritama. Funkcija f(x) = e^x je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma f(x) = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

Definicija

Eksponencijalna funkcija e^x može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .}$

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}\right)^{n}.}$

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti e^x (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

${\displaystyle e^{(x+y)}=e^{x}\cdot e^{y}\,}$

odnosno napisano drukčije

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}$

Zanimljivosti

Očito za svaki ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ kada ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ vrijedi ${\displaystyle e^{\frac {x}{n}\rightarrow 1.}$ Slično se vidi i da ${\displaystyle (1+{\frac {x}{n})\rightarrow 1.}$ Za dovoljno veliki ${\displaystyle n}$ može se pokazati da postoji jedinstvena baza, broj ${\displaystyle e}$, s kojom se lijevi limes smanjuje jednakom brzinom kao desni, pa možemo reći da razlika ova dva (pozitivna) broja postaje zanemariva, tj. ${\displaystyle e^{\frac {x}{n}=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {x}{n})}$ pa je zaista ${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {x}{n})^{n}.}$

Ovaj je identitet itekako koristan u realnoj analizi pri izučavanju eksponencijalnih, ali i nekih drugih funkcija. Neka imamo primjerice funkciju ${\displaystyle f(x)=a^{x},a\in \mathbb {R_{\geq 0} .}$ Tada možemo pisati ${\displaystyle f(x)=e^{x\ln _{a}.}$ Ovo je korisno zbog važnog svojstva funkcije ${\displaystyle e^{x},}$ a to je ${\displaystyle {\frac {d}{dx}e^{x}=e^{x}.}$

S druge strane, gore razrađeni identitet je baza kompleksne analize. Defniramo kompleksnu eksponencijalnu funkciju ${\displaystyle e^{ix}$ stavljajući ${\displaystyle x:=xi,}$ gdje je ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ Time se lako dokaže i Eulerova formula.

Derivacija

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

${\displaystyle \,{d \over dx}e^{x}=e^{x}$

što znači da je funkcija e^x ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Ke^x gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

• strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
• brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
• eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

Ponekad se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

${\displaystyle f(x)=a^{x}\,}$

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}$

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

${\displaystyle \,\!\,e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}{n!}$

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

${\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}$

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

${\displaystyle \,\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}$

${\displaystyle \,\!\,e^{0}=1}$

${\displaystyle \,\!\,e^{z}\neq 0}$

${\displaystyle \,\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda ${\displaystyle 2\pi i}$ jer vrijedi

${\displaystyle \,\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

i

${\displaystyle \,e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}$

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika a^b, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

${\displaystyle \,\!\,z^{w}=e^{w\ln z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ako se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

${\displaystyle \,\!\,(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}$

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.