Lineáris altér

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét; azaz a másik altérben definiált összeadás és szorzás nem vezet ki belőle.

Minden lineáris altér generálható a kiindulási tér néhány lineárisan független vektorával. Két altér összege és metszete szintén lineáris altér, melyek dimenziója a dimenzióképlettel számítható. Minden lineáris altérnek van kiegészítő altere, mellyel vett direkt összege a kiindulási vektorteret adja. Minden altérhez rendelhető faktortér, ami úgy keletkezik, hogy az eredeti tér vektorait az altér mentén párhuzamosan vetítjük.

A lineáris algebrában az altereket arra használják, hogy jellemezzék lineáris leképezések mag- és képterét, lineáris egyenletek megoldáshalmazát és sajátértékproblémák sajáttereit. A funkcionálanalízisben Hilbert-terek, Banach-terek altereit és duális tereket vizsgálnak. Az alterek sokoldalú alkalmazásokkal bírnak, mint például nagy lineáris és differenciál-egyenletrendszerek numerikus megoldása, optimalizálásban, kódoláselméletben és jelfeldolgozásban.

Definíció

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ${\displaystyle \in }$ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Tulajdonságok

Tétel

Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

1. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in W}$ és
2. ${\displaystyle \mathbf {v} \in W,\lambda \in F\Rightarrow \lambda \mathbf {v} \in W}$

Bizonyítás

Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.

Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen v ∈ W tetszőleges, 2. miatt 0 = 0v ∈ W nullelem, és -v = (-1)v ∈ W inverz.

W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.

Példák

• bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
• bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
• tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
• a háromdimenziós ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}$-ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík.

Generált altér

Az a₁, …, a_n ∈ V vektorok által generált altéren az a_i vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a₁, …, a_n〉-nel jelöljük,

${\displaystyle \langle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle =\{\lambda _{1}\mathbf {a} _{1}+...+\lambda _{n}\mathbf {a} _{n}\,|\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbf {F} \}.}$

Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük.
Igazolható a következő állítás is

Tétel

U =〈a₁, …, a_n〉az a_i vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz

1. ${\displaystyle U\leq V}$
2. ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\in U,\,\,i=1,\ldots ,n}$
3. ${\displaystyle \mathrm {ha} \,\ W\leq V\ \wedge \ \mathbf {a} _{i}\in W,\ i=1,\ldots ,n\ \Rightarrow \ U\subseteq W}$

Két altér által generált altér

Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a

${\displaystyle \langle W,Z\rangle =\{\mathbf {w} +\mathbf {z} \,|\,\mathbf {w} \in W,\,\mathbf {z} \in Z\}$

alteret nevezzük.
Ha W ∩ Z = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z direkt összegének nevezzük, és a következőképpen

${\displaystyle W\oplus Z}$

jelöljük.

A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, w ∈ W, z ∈ Z, akkor és csak akkor egyértelmű, ha W ∩ Z = 0, ugyanis
Ha W ∩ Z = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {w} _{1}+\mathbf {z} _{1}=\mathbf {w} _{2}+\mathbf {z} _{2}$

egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w₁ – w₂ = z₁ – z₂. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w₁=w₂, z₁=z₂.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x ≠ 0 ∈ W ∩ Z-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát W ∩ Z = 0.

Lásd még

• Dimenzió (lineáris algebra)
• Hamel-bázis
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Vektortér