Legyen A affin tér a valós Veltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden pontra
szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma.
A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.
Vagyis a pozitív definitség követelménye:
minden -re
helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:
minden -re
A metrikus tenzor egy ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:
Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a vektorok szöge a pontban:
Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre -vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az és az vektorokra
.
A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az injektív affin lineárisleképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:
.
A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordináta-rendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis.
Ha a koordináta-rendszer transzformációját a
illetve
képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:
és a metrikus tenzor transzformációja:
Görbék hossza
Ha differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:
.
A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:
Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a fizikai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!