Modus ponens

A modus ponens, más néven a leválasztás szabálya a matematikában egy egyszerű bizonyítási módszer. Ennek alkalmazásával már bizonyított állításokból és tételekből következtethetünk újabb kijelentések igazságtartalmára.

A szabály

Legyen Γ valamely ítéletek összessége, ${\displaystyle {\mathcal {A}$ pedig ebből levezethető állítás. Ekkor ha ${\displaystyle {\mathcal {A}\Rightarrow {\mathcal {B}$ is levezethető (azaz igaz), akkor ${\displaystyle {\mathcal {B}$ szintén levezethető állítás.^[1]

Bizonyítás

Legyen az ${\displaystyle {\mathcal {A}$ levezetése az ${\displaystyle ({\mathcal {A}_{1},{\mathcal {A}_{2},{\mathcal {A}_{3}\dots {\mathcal {A}_{n})}$ sorozat, ahol minden egyes tag vagy axióma, vagy pedig ${\displaystyle {\mathcal {A}_{j}\equiv {\mathcal {A}_{i}\Rightarrow {\mathcal {A}_{k},\,1\leq i,j<k}$ következtetés. Hasonlóan az ${\displaystyle {\mathcal {A}\Rightarrow {\mathcal {B}$ levezetése a ${\displaystyle ({\mathcal {B}_{1},{\mathcal {B}_{2},{\mathcal {B}_{3},\dots {\mathcal {B}_{m})}$. Ekkor ${\displaystyle {\mathcal {B}$ levezetése az ${\displaystyle ({\mathcal {A}_{1},{\mathcal {A}_{2},{\mathcal {A}_{3},\dots {\mathcal {A}_{n},{\mathcal {B}_{1},{\mathcal {B}_{2},{\mathcal {B}_{3}\dots {\mathcal {B}_{m},{\mathcal {B})}$, mivel ${\displaystyle {\mathcal {B}_{m}\equiv ({\mathcal {A}\Rightarrow {\mathcal {B})}$.

Források