x
4
14
+
x
3
14
−
13
x
2
14
−
x
14
+
19
14
{\displaystyle {\tfrac {x}^{4}{14}+{\tfrac {x}^{3}{14}-{\tfrac {13{x}^{2}{14}-{\tfrac {x}{14}+{\tfrac {19}{14}
Negyedfokú függvény grafikonja. Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény , a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.
Általános alakja:
a
⋅
x
4
+
b
⋅
x
3
+
c
⋅
x
2
+
d
⋅
x
+
e
=
0
{\displaystyle a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0\,}
Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.
Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.
Az általános negyedfokú egyenlet gyökei
Ha
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
(
B
=
0
)
{\displaystyle \left(B=0\right)}
és
(
A
>
0
)
{\displaystyle \left(A>0\right)}
és
(
C
=
A
2
4
)
{\displaystyle \left(C={\frac {A}^{2}{4}\right)}
esetén:
x
1
,
2
=
−
b
4
a
+
i
⋅
A
2
x
3
,
4
=
−
b
4
a
−
i
⋅
A
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{x}_{1,2}=-{\frac {b}{4a}+i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}\\&{x}_{3,4}=-{\frac {b}{4a}-i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}\\\end{aligned}
ellenkező esetben:
x
1
,
2
=
−
b
4
a
+
s
i
g
(
−
B
)
−
A
6
+
u
+
v
±
−
A
3
−
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
x
3
,
4
=
−
b
4
a
−
s
i
g
(
−
B
)
−
A
6
+
u
+
v
±
i
⋅
A
3
+
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{x}_{1,2}=-{\frac {b}{4a}+sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}\pm {\sqrt {-{\frac {A}{3}-\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\\&{x}_{3,4}=-{\frac {b}{4a}-sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}\pm i\cdot {\sqrt {\frac {A}{3}+\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\\\end{aligned}
Ha
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
(
C
>
A
2
4
)
{\displaystyle \left(C>{\frac {A}^{2}{4}\right)}
vagy
(
A
>
0
)
{\displaystyle \left(A>0\right)}
esetén:
x
1
,
2
=
−
b
4
a
−
s
i
g
(
−
B
)
Y
1
±
i
⋅
(
−
Y
2
+
−
Y
3
)
x
3
,
4
=
−
b
4
a
+
s
i
g
(
−
B
)
Y
1
±
i
⋅
(
−
Y
2
−
−
Y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{x}_{1,2}=-{\frac {b}{4a}-sig\left(-B\right){\sqrt {Y}_{1}\pm i\cdot \left({\sqrt {-{Y}_{2}+{\sqrt {-{Y}_{3}\right)\\&{x}_{3,4}=-{\frac {b}{4a}+sig\left(-B\right){\sqrt {Y}_{1}\pm i\cdot \left({\sqrt {-{Y}_{2}-{\sqrt {-{Y}_{3}\right)\\\end{aligned}
ellenkező esetben mind a négy gyök valós:
x
1
,
2
=
−
b
4
a
+
s
i
g
(
−
B
)
Y
1
±
(
Y
2
+
Y
3
)
x
3
,
4
=
−
b
4
a
−
s
i
g
(
−
B
)
Y
1
±
(
Y
2
−
Y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{x}_{1,2}=-{\frac {b}{4a}+sig\left(-B\right){\sqrt {Y}_{1}\pm \left({\sqrt {Y}_{2}+{\sqrt {Y}_{3}\right)\\&{x}_{3,4}=-{\frac {b}{4a}-sig\left(-B\right){\sqrt {Y}_{1}\pm \left({\sqrt {Y}_{2}-{\sqrt {Y}_{3}\right)\\\end{aligned}
Megjegyzések:
A
=
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
{\displaystyle A=-{\frac {3{b}^{2}{8{a}^{2}+{\frac {c}{a}
,
B
=
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
{\displaystyle B={\frac {b}^{3}{8{a}^{3}-{\frac {bc}{2{a}^{2}+{\frac {d}{a}
,
C
=
−
3
b
4
256
a
4
+
b
2
c
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
e
a
{\displaystyle C=-{\frac {3{b}^{4}{256{a}^{4}+{\frac {b}^{2}c}{16{a}^{3}-{\frac {bd}{4{a}^{2}+{\frac {e}{a}
P
=
−
A
2
48
−
C
4
{\displaystyle P=-{\frac {A}^{2}{48}-{\frac {C}{4}
,
Q
=
−
A
3
864
−
B
2
64
+
A
C
24
{\displaystyle Q=-{\frac {A}^{3}{864}-{\frac {B}^{2}{64}+{\frac {AC}{24}
,
Δ
=
(
Q
2
)
2
+
(
P
3
)
3
{\displaystyle \Delta ={\left({\frac {Q}{2}\right)}^{2}+{\left({\frac {P}{3}\right)}^{3}
,
u
,
v
=
−
Q
2
±
Δ
3
{\displaystyle u,v={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}\pm {\sqrt {\Delta }
Y
k
=
−
A
6
+
2
−
P
/
3
⋅
cos
(
2
(
k
−
1
)
⋅
π
3
+
1
3
⋅
arccos
−
Q
/
2
−
(
P
/
3
)
3
)
{\displaystyle {Y}_{k}=-{\frac {A}{6}+2{\sqrt {-P/3}\cdot \cos \left({\frac {2\left(k-1\right)\cdot \pi }{3}+{\frac {1}{3}\cdot \arccos {\frac {-Q/2}{\sqrt {-{\left(P/3\right)}^{3}\right)}
s
i
g
(
x
)
=
{
+
1
,
x
≥
0
−
1
,
x
<
0
{\displaystyle sig\left(x\right)=\left\{\begin{aligned}&+1,x\geq 0\\&-1,x<0\\\end{aligned}\right.}
Viète-formulák
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}
x
1
x
2
x
3
x
4
=
e
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}
Az általános negyedfokú egyenlet megoldása
Mivel
(
y
1
+
y
2
+
y
3
)
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
(
y
1
+
y
2
+
y
3
)
2
−
8
y
1
y
2
y
3
(
y
1
+
y
2
+
y
3
)
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
0
{\displaystyle {\left({y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}\right)}^{4}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right){\left({y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}\right)}^{2}-8{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}\left({y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}\right)+{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}
ebből következik, hogy az
X
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
⋅
X
2
−
8
y
1
y
2
y
3
⋅
X
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
0
{\displaystyle {X}^{4}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {X}^{2}-8{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}\cdot X+{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}
alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke
X
1
=
y
1
+
y
2
+
y
3
{\displaystyle {X}_{1}={y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}
Ez igaz marad akkor is ha
X
=
y
1
±
(
y
2
+
y
3
)
{\displaystyle X={y}_{1}\pm \left({y}_{2}+{y}_{3}\right)}
vagy
X
=
−
y
1
±
(
y
2
−
y
3
)
{\displaystyle X=-{y}_{1}\pm \left({y}_{2}-{y}_{3}\right)}
tehát az
X
4
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
⋅
X
2
−
8
y
1
y
2
y
3
⋅
X
+
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
0
{\displaystyle {X}^{4}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {X}^{2}-8{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}\cdot X+{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}
alakú negyedfokú egyenlet gyökei:
X
1
,
2
=
+
y
1
±
(
y
2
+
y
3
)
X
3
,
4
=
−
y
1
±
(
y
2
−
y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{X}_{1,2}=+{y}_{1}\pm \left({y}_{2}+{y}_{3}\right)\\&{X}_{3,4}=-{y}_{1}\pm \left({y}_{2}-{y}_{3}\right)\\\end{aligned}
Ebből következik, hogy az
X
4
+
A
⋅
X
2
+
B
⋅
X
+
C
=
0
{\displaystyle {X}^{4}+A\cdot {X}^{2}+B\cdot X+C=0}
negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az
{
−
2
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
=
A
−
8
y
1
y
2
y
3
=
B
(
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
)
2
−
4
(
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
)
=
C
{\displaystyle \left\{\begin{aligned}&-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)=A\\&-8{y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}=B\\&{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=C\\\end{aligned}\right.}
egyenletrendszerből kiszámoljuk az
y
1
,
2
,
3
{\displaystyle {y}_{1,2,3}
ismeretleneket
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
függvényében.
Kicsit átrendezve:
{
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
=
−
A
2
y
1
2
y
2
2
+
y
1
2
y
3
2
+
y
2
2
y
3
2
=
A
2
16
−
C
4
y
1
2
y
2
2
y
3
2
=
B
2
64
{\displaystyle \left\{\begin{aligned}&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-{\frac {A}{2}\\&y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}={\frac {A}^{2}{16}-{\frac {C}{4}\\&y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}={\frac {B}^{2}{64}\\\end{aligned}\right.}
Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:
(
y
2
)
3
+
A
2
⋅
(
y
2
)
2
+
(
A
2
16
−
C
4
)
⋅
(
y
2
)
−
(
B
8
)
2
=
0
{\displaystyle {\left({y}^{2}\right)}^{3}+{\frac {A}{2}\cdot {\left({y}^{2}\right)}^{2}+\left({\frac {A}^{2}{16}-{\frac {C}{4}\right)\cdot \left({y}^{2}\right)-{\left({\frac {B}{8}\right)}^{2}=0}
melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az
y
1
y
2
y
3
=
−
B
8
{\displaystyle {y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}=-{\frac {B}{8}
összefüggés.
P
=
−
A
2
48
−
C
4
Q
=
−
A
3
864
−
B
2
64
+
A
C
24
{\displaystyle {\begin{aligned}&P=-{\frac {A}^{2}{48}-{\frac {C}{4}\\&Q=-{\frac {A}^{3}{864}-{\frac {B}^{2}{64}+{\frac {AC}{24}\\\end{aligned}
Δ
=
(
Q
2
)
2
+
(
P
3
)
3
u
,
v
=
−
Q
2
±
Δ
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta ={\left({\frac {Q}{2}\right)}^{2}+{\left({\frac {P}{3}\right)}^{3}\\&u,v={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}\pm {\sqrt {\Delta }\\\end{aligned}
Ha
Δ
≥
0
{\displaystyle \Delta \geq 0}
akkor:
y
1
2
=
−
A
6
+
u
+
v
y
2
,
3
2
=
−
A
6
−
u
+
v
2
±
i
(
u
−
v
)
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&y_{1}^{2}=-{\frac {A}{6}+u+v\\&y_{2,3}^{2}=-{\frac {A}{6}-{\frac {u+v}{2}\pm i{\frac {\left(u-v\right){\sqrt {3}{2}\\\end{aligned}
vagyis
y
1
=
−
A
6
+
u
+
v
{\displaystyle {y}_{1}={\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}
y
2
,
3
{\displaystyle {y}_{2,3}
pedig egyszerűsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:
α
±
i
⋅
β
=
±
(
α
+
α
2
+
β
2
2
±
i
⋅
s
i
g
(
b
)
⋅
−
α
+
α
2
+
β
2
2
)
{\displaystyle {\sqrt {\alpha \pm i\cdot \beta }=\pm \left({\sqrt {\frac {\alpha +{\sqrt {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}{2}\pm i\cdot sig\left(b\right)\cdot {\sqrt {\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}{2}\right)}
ennek eredményeként:
y
2
,
3
=
1
2
−
A
3
−
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
±
i
2
⋅
A
3
+
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
{\displaystyle {y}_{2,3}={\frac {1}{2}{\sqrt {-{\frac {A}{3}-\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\pm {\frac {i}{2}\cdot {\sqrt {\frac {A}{3}+\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}
Mivel:
y
2
⋅
y
3
=
1
2
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
≥
0
{\displaystyle {y}_{2}\cdot {y}_{3}={\frac {1}{2}{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\geq 0}
ezért
y
1
y
2
y
3
=
−
B
8
{\displaystyle {y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}=-{\frac {B}{8}
csak úgy teljesül ha
y
1
=
s
i
g
(
−
B
)
−
A
6
+
u
+
v
{\displaystyle {y}_{1}=sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}
Tehát pozitív delta esetén a gyökok:
X
1
,
2
=
+
s
i
g
(
−
B
)
−
A
6
+
u
+
v
±
−
A
3
−
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
X
3
,
4
=
−
s
i
g
(
−
B
)
−
A
6
+
u
+
v
±
i
⋅
A
3
+
(
u
+
v
)
+
(
A
6
+
2
(
u
+
v
)
)
2
−
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{X}_{1,2}=+sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}\pm {\sqrt {-{\frac {A}{3}-\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\\&{X}_{3,4}=-sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}+u+v}\pm i\cdot {\sqrt {\frac {A}{3}+\left(u+v\right)+{\sqrt {\left({\frac {A}{6}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}-C}\\\end{aligned}
Ha
B
=
0
{\displaystyle B=0}
és
A
>
0
{\displaystyle A>0}
és
C
=
A
2
4
{\displaystyle C={\frac {A}^{2}{4}
akkor
−
A
6
+
u
+
v
<
0
{\displaystyle -{\frac {A}{6}+u+v<0}
vagyis
y
1
{\displaystyle {y}_{1}
komplex szám és ebben az esetben a gyökök:
X
1
,
2
=
+
i
⋅
A
2
X
3
,
4
=
−
i
⋅
A
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{X}_{1,2}=+i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}\\&{X}_{3,4}=-i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}\\\end{aligned}
Ha
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
akkor:
y
k
=
±
−
A
6
+
2
−
P
/
3
⋅
cos
(
2
(
k
−
1
)
⋅
π
3
+
1
3
⋅
arccos
−
Q
/
2
−
(
P
/
3
)
3
)
{\displaystyle {y}_{k}=\pm {\sqrt {-{\frac {A}{6}+2{\sqrt {-P/3}\cdot \cos \left({\frac {2\left(k-1\right)\cdot \pi }{3}+{\frac {1}{3}\cdot \arccos {\frac {-Q/2}{\sqrt {-{\left(P/3\right)}^{3}\right)}
Ha
(
4
⋅
C
>
A
2
)
{\displaystyle \left(4\cdot C>{A}^{2}\right)}
és
(
A
>
0
)
{\displaystyle \left(A>0\right)}
akkor
y
2
,
3
{\displaystyle {y}_{2,3}
komplex számok lesznek és
y
1
y
2
y
3
=
−
B
8
{\displaystyle {y}_{1}{y}_{2}{y}_{3}=-{\frac {B}{8}
miatt
s
i
g
(
−
B
)
{\displaystyle sig\left(-B\right)}
-nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:
X
1
,
2
=
−
s
i
g
(
−
B
)
⋅
y
1
±
i
⋅
(
−
y
2
2
+
−
y
3
2
)
X
3
,
4
=
+
s
i
g
(
−
B
)
⋅
y
1
±
i
⋅
(
−
y
2
2
−
−
y
3
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{X}_{1,2}=-sig\left(-B\right)\cdot {y}_{1}\pm i\cdot \left({\sqrt {-y_{2}^{2}+{\sqrt {-y_{3}^{2}\right)\\&{X}_{3,4}=+sig\left(-B\right)\cdot {y}_{1}\pm i\cdot \left({\sqrt {-y_{2}^{2}-{\sqrt {-y_{3}^{2}\right)\\\end{aligned}
Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:
X
1
,
2
=
+
s
i
g
(
−
B
)
⋅
y
1
±
(
y
2
+
y
3
)
X
3
,
4
=
−
s
i
g
(
−
B
)
⋅
y
1
±
(
y
2
−
y
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{X}_{1,2}=+sig\left(-B\right)\cdot {y}_{1}\pm \left({y}_{2}+{y}_{3}\right)\\&{X}_{3,4}=-sig\left(-B\right)\cdot {y}_{1}\pm \left({y}_{2}-{y}_{3}\right)\\\end{aligned}
Az
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx+e=0}
általános negyedfokú egyenlet az
x
=
−
b
4
a
+
X
{\displaystyle x=-{\frac {b}{4a}+X}
helyettesítéssel:
X
4
+
(
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
)
⏞
A
⋅
X
2
+
(
b
3
8
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
)
⏞
B
⋅
X
+
(
−
3
b
4
256
a
4
+
b
2
c
16
a
3
−
b
d
4
a
2
+
e
a
)
⏞
C
=
0
{\displaystyle {X}^{4}+\overbrace {\left(-{\frac {3{b}^{2}{8{a}^{2}+{\frac {c}{a}\right)} ^{A}\cdot {X}^{2}+\overbrace {\left({\frac {b}^{3}{8{a}^{3}-{\frac {bc}{2{a}^{2}+{\frac {d}{a}\right)} ^{B}\cdot X+\overbrace {\left(-{\frac {3{b}^{4}{256{a}^{4}+{\frac {b}^{2}c}{16{a}^{3}-{\frac {bd}{4{a}^{2}+{\frac {e}{a}\right)} ^{C}=0}
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:
x
1
,
2
,
3
,
4
=
−
b
4
a
+
X
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle {x}_{1,2,3,4}=-{\frac {b}{4a}+{X}_{1,2,3,4}
lesznek.
A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari módszere szerint
Az
x
4
+
a
⋅
x
3
+
b
⋅
x
2
+
c
⋅
x
+
d
=
0
{\displaystyle x^{4}+a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0}
negyedfokú egyenlet
Ludovico Ferraritól (1522-1565) származó módszer szerinti megoldása két másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet:
y
3
+
3
⋅
p
⋅
y
+
2
⋅
q
=
0
,
{\displaystyle y^{3}+3\cdot p\cdot y+2\cdot q=0,}
ahol
3
⋅
p
=
a
⋅
c
/
4
−
b
⋅
b
/
12
−
d
{\displaystyle 3\cdot p=a\cdot c/4-b\cdot b/12-d}
2
⋅
q
=
a
⋅
b
⋅
c
/
24
−
a
⋅
a
⋅
d
/
8
−
b
⋅
b
⋅
b
/
108
+
b
⋅
d
/
3
−
c
⋅
c
/
8.
{\displaystyle 2\cdot q=a\cdot b\cdot c/24-a\cdot a\cdot d/8-b\cdot b\cdot b/108+b\cdot d/3-c\cdot c/8.}
Megoldása a Cardano képlettel történik.
z
{\displaystyle z}
-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós
y
{\displaystyle y}
megoldásához
b
6
{\displaystyle {\frac {b}{6}
-ot hozzáadjuk:
z
=
y
+
b
/
6
{\displaystyle z=y+b/6}
. A másodfokú egyenletek:
x
2
+
(
a
/
2
+
a
⋅
a
/
4
−
b
+
2
⋅
z
)
⋅
x
+
z
(
+
/
−
)
z
⋅
z
−
d
=
0
{\displaystyle x^{2}+(a/2+{\sqrt {a\cdot a/4-b+2\cdot z})\cdot x+z(+/-){\sqrt {z\cdot z-d}=0}
x
2
+
(
a
/
2
−
a
⋅
a
/
4
−
b
+
2
⋅
z
)
⋅
x
+
z
(
−
/
+
)
z
⋅
z
−
d
=
0
{\displaystyle x^{2}+(a/2-{\sqrt {a\cdot a/4-b+2\cdot z})\cdot x+z(-/+){\sqrt {z\cdot z-d}=0}
Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha
a
⋅
z
−
c
<
0
{\displaystyle a\cdot z-c<0}
. Tekintettel arra, hogy ezeknek a formuláknak az alkalmazása kissé bonyolult (főleg a
p
{\displaystyle p}
és
q
{\displaystyle q}
segédváltozók kiszámítása) a számítási munkát érdemes számítógépre bízni. A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari szerinti megoldása (javítva és továbbfejlesztve, PASCAL nyelven megírva) így néz ki:
PROCEDURE negyedfoku ( a , b , c , d : REAL ) ;
VAR p , q , z , z2 , z3 , m , n , w1 , w2 , w3 : REAL ;
BEGIN
p := ( a * c / 4 - b * b / 12 - d ) / 3 ;
q := ( a * b * c / 24 - a * a * d / 8 - b * b * b / 108 + b * d / 3 - c * c / 8 ) / 2 ;
harmadfoku ( p , q , b / 6 , z , w1 , z2 , w2 , z3 , w3 ) ;
IF ( w2 = 0 ) AND ( z2 = z3 ) THEN IF z2 > z THEN z := z2 ;
m := ngyok ( a * a / 4 - b + 2 * z ) ;
n := ngyok ( z * z - d ) ;
IF a * z - c < - 1 . e - 7 THEN n := - n ;
masodfoku ( a / 2 + m , z + n , x [ 1 ] , y [ 1 ] , x [ 2 ] , y [ 2 ]) ;
masodfoku ( a / 2 - m , z - n , x [ 3 ] , y [ 3 ] , x [ 4 ] , y [ 4 ])
END ;
Látható, hogy semmi mást nem csinál, minthogy meghívja a "harmadfokú" eljárást (egyszer), majd a "másodfokú" eljárást (kétszer egymás után), miután kiszámította azok "bemeneti" együtthatóit. [1]
Források
↑ Benkő Miklós, Budapest, Hungary
Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.
További információk