Pont (geometria)

Hasonló cikkcímek és megnevezések: Pont (egyértelműsítő lap).

A pont a geometria egyik alapfogalma.

A pont lényegében egy helyet jelöl, amelynek kiterjedése nincs (azaz nulla dimenziós), és mérete is minden irányban nulla. Ez azonban csak értelmezés és nem definíció. A pont fogalma mindenki számára másképp jelenhet meg.

Az axiomatikus geometriában a pont mellett általában léteznek további alapfogalmak is: ilyen geometriai objektum például az egyenes és a sík a Hilbert-féle axiómarendszerben. A geometria azonban felépíthető úgy is, hogy minden más geometriai objektumot - ideértve az egyenest és a síkot is - pontok halmazaként definiálunk. Így építkezik az analitikus és a differenciálgeometria. A funkcionálanalízisben a függvények függvényterek pontjai. A magasabb geometriában például a projektív tér síkjai felfoghatók egy hozzá tartozó duális tér pontjaiként.

A pont egy elfajult kúpszelet, mint nulla sugarú kör.

Jelölése

Rajzban általában két rövid, egymást metsző vonallal jelöljük és az angol ábécé nagybetűivel nevezzük el. Koordináta-rendszerben a koordinátáival adjuk meg; például a Descartes-féle kétdimenziós koordináta-rendszer első tengelyétől 3 és második tengelyétől −5,2 egységre levő pont jele a (3;−5,2). Kétdimenziós euklideszi térben (azaz euklideszi síkon) a pontokat rendezett számpárok adják meg ahol az első szám a pont vízszintes, a második a pont függőleges koordinátáját adja meg. Ez általánosítható a háromdimenziós euklideszi térre is, ahol a pontokat (x, y, z) hármasok jelölik. További általánosítás az n dimenziós euklideszi tér, ahol a pontok meghatározásához egy (a₁, a₂, … , a_n) szám-n-esre van szükség.

Az euklideszi geometria több eleme végtelen sok pontból áll, így ponthalmazokként kezelik őket. Például az ${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ halmaz n-1 dimenziós altér, ahol c₁-től c_n-ig, és d konstansok, illetve n a tér dimenziója. Az egyenlet síkban ez az egyenlet egyenest, térben síkot, 4 dimenziós térben 3 dimenziós alteret ír le. Hasonlóan definiálhatók szakaszok, félegyenesek, valamint egyenletrendszerrel alacsonyabb dimenziós alterek is.

Dimenziója

A matematika több részterülete egymástól függetlenül definiálja a pont dimenzióját nullának. Ezek a definíciók nem ekvivalensek.

A vektorterek dimenzióját bázisuk elemszáma adja meg, ahol egy bázis maximális lineárisan független rendszer. Az egyetlen pontból álló vektortér dimenziója nulla, hiszen az egyetlen pontnak a nullvektornak kell lennie (a vektortér tulajdonságai miatt), és a nullvektor nem lineárisan független önmagától. Így nem választható ki benne lineárisan független rendszer.

Ha X topologikus tér, akkor dimenziója az a minimális n, ahol X minden nyílt véges fedésének van véges nyílt finomítása, ahol minden pont legfeljebb n+1-szer van fedve. Ha nincs ilyen n, akkor a tér fedési dimenziója végtelen. Eszerint egy pont fedési dimenziója nulla, hiszen minden nyílt fedéséből kiválasztható egy halmaz, ami tartalmazza a pontot, így a pont nincs egynél többször fedve.

Legyen X metrikus tér! Ha S ⊂ X, d ∈ [0, ∞), akkor S d dimenziós Hausdorff-tartalma az infimuma azoknak a δ ≥ 0 számoknak, hogy vannak S-et fedő ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ golyók, ahol r_i > 0, és minden i ∈ I-re, amire ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$. Ekkor X Hausdorff-dimenziója

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

Egy pont dimenziója nulla, mivel egy akármilyen kis sugarú golyó befedi.

Analitikus geometria

Az analitikus geometriában a geometriai tér egy test fölötti n dimenziós tér. A tér pontjai a vektortér elemei. A vektortér egy bázisa koordináta-rendszert ad meg; az adott bázisban a pontok koordinátái a bázis szerinti felbontásban szereplő együtthatók.

A többi alakzatot ponthalmazokként definiálják. Az egyenes egydimenziós, a sík kétdimenziós (affin) altér. Altér a pont is, dimenziója nulla. Egy gömb egy ponttól, a középponttól ugyanolyan távolságra levő pontok halmaza.

Differenciálgeometria

A differenciálgeometriában a pontok a sokaságok elemei. Nem vektorok, de lokálisan a megfelelő térkép szerint elláthatók koordinátákkal.

Pont nélküli geometriák

A legtöbb geometriai modell használja a pont fogalmát, de vannak elméletek, ahol szó sincs pontokról. A nemkommutatív geometria algebrai, a pont nélküli topológia logikai szerkezetet hoz létre a vizsgált téren. Pontok helyett jól ismert függvényekkel és halmazokkal foglalkoznak: folytonos függvényekkel, illetve halmazalgebrákkal. Általánosítják a függvénytereket úgy, hogy nem használják a behelyettesítést. Egy további megközelítést A. N. Whitehead ír le, ahol az alapfogalom a régió, amelyek tartalmazhatják egymást, vagy közel lehetnek egymáshoz.

Ponttömegek és a Dirac-függvény

A matematikában és a fizikában gyakran hasznos, ha pontoknak lehet tömegük vagy töltésük. A klasszikus elektromágnesességben az elektronokat pontszerű töltésekként kezelik. A Dirac-delta függvény egy általánosított valós függvény, ami mindenütt nulla, kivéve nullában, és integrálja a teljes számegyenesen egy.^[1][2][3] Ez a fizikában egy idealizált ponttömeget vagy ponttöltést reprezentál.^[4] Ez a függvényt Paul Dirac vezette be. A jelfeldolgozásban egységimpulzus jelnek nevezik.^[5] Diszkrét megfelelője a Kronecker-delta, ami véges tartományon van definiálva, és a 0 és az 1 értékeket veszi fel.

Története

Proklosz szerint az első definíció Püthagorasztól származik: Egység, melynek pozíciója van. Euklidész az Elemek című művében i. e. 300 körül még így definiálta a pontot: „Pont az, aminek nincs része.”^[6] Ez erőltetett és könnyen támadható definíció, de Euklidész arra törekedett, hogy minden általa felhasznált fogalomra meghatározást adjon, még ha nehézségbe ütközik is. Mára beláttuk, hogy egy-egy elmélethez szükségesek nem definiált alapfogalmak is, melyek tulajdonságait axiómákban rögzítjük. Ezek közé soroljuk a pontot is.

A görögöknek is nehézségei adódtak a definícióval, mivel nehéz elképzelni, hogy kiterjedés nélküli valamikből hogyan állhat össze valami, aminek kiterjedése van, például egy vonal. A platóni iskola is foglalkozott a problémával, amiről Arisztotelész írt a De generatione et corruptione művében.^[7]

A szintetikus geometriában nem számít, hogy tulajdonképpen mik is a pontok, egyenesek, síkok, meg az illeszkedés. Az a fontos, hogy az axiómák teljesüljenek. Egy Hilbertnek tulajdonított mondás szerint asztalokról, székekről és kocsmákról is lehet szó.

A projektív síkokon az axiómák szimmetriája miatt belátható a dualitás tétele: a tételek dualizálhatók bizonyításukkal együtt. Azaz, ha egy tételben felcseréljük a pont és az egyenes szavakat, akkor egy olyan tételt kapunk, melyet bizonyíthatunk úgy, hogy az eredeti bizonyításban felcseréljük a pont és az egyenes szavakat. Így a duális tételt duálisan bizonyítjuk. A sík duálisán az eredeti sík egyenesei pontok, és az eredeti sík pontjai egyenesek.

Források

• Manon Baukhage: Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her - so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt; in: "P.M. - Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58–65.

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Punkt (Geometrie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Point (geometry) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Hilbert-féle axiómarendszer