A Stirling-formula a faktoriális függvény nagy értékeinek becslését segíti aszimptotika megadásával.
Eszerint
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}\left({\frac {n}{e}\right)^{n}
e a természetes logaritmus alapja , a
∼
{\displaystyle \sim }
aszimptotikusan egyenlő .
A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a valószínűségszámításban , de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a gamma-függvényre is:
Γ
(
z
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle \Gamma \left(z\right)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}\left({\frac {z}{e}\right)^{z},}
ha
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
|
arg
z
|
<
π
{\displaystyle \left|{\arg z}\right|<\pi }
James Stirling skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a
log
1
+
log
2
+
⋯
+
log
n
=
log
n
!
{\displaystyle \log 1+\log 2+\cdots +\log n=\log n!\,\!}
log a természetes logaritmus függvény):
(
n
+
1
2
)
log
(
n
+
1
2
)
−
(
n
+
1
2
)
+
1
2
log
(
2
π
)
−
1
24
(
n
+
1
2
)
+
7
2880
(
n
+
1
2
)
3
−
⋯
{\displaystyle \left({n+{\frac {1}{2}\right)\log \left({n+{\frac {1}{2}\right)-\left({n+{\frac {1}{2}\right)+{\frac {1}{2}\log \left({2\pi }\right)-{\frac {1}{24\left({n+{\frac {1}{2}\right)}+{\frac {7}{2880\left({n+{\frac {1}{2}\right)^{3}-\cdots }
A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
(
2
1
−
2
k
−
1
)
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
(
n
+
1
2
)
2
k
−
1
,
{\displaystyle {\frac {\left({2^{1-2k}-1}\right)B_{2k}{2k\left({2k-1}\right)\left({n+{\frac {1}{2}\right)^{2k-1},}
ahol Bk a Bernoulli-féle számokat jelöli. Stirling eredményeit látva, Abraham de Moivre Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:
(
n
+
1
2
)
log
n
−
n
+
1
2
log
(
2
π
)
+
1
12
n
−
1
360
n
3
+
⋯
{\displaystyle \left({n+{\frac {1}{2}\right)\log n-n+{\frac {1}{2}\log \left({2\pi }\right)+{\frac {1}{12n}-{\frac {1}{360n^{3}+\cdots }
Ebben az esetben az általános tag
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
n
2
k
−
1
.
{\displaystyle {\frac {B_{2k}{2k\left({2k-1}\right)n^{2k-1}.}
A képletben látható
1
2
log
(
2
π
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}\log \left({2\pi }\right)}
De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
.
{\displaystyle \Gamma \left(z\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}{z\left({z+1}\right)\cdots \left({z+n-1}\right)}.}
A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy
ℜ
(
z
)
>
0
{\displaystyle \Re (z)>0}
ψ
(
z
)
:=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
(
log
n
−
1
z
−
1
z
+
1
−
⋯
−
1
z
+
n
−
1
)
{\displaystyle \psi \left(z\right):={\frac {\Gamma '\left(z\right)}{\Gamma \left(z\right)}=\lim _{n\to \infty }\left({\log n-{\frac {1}{z}-{\frac {1}{z+1}-\cdots -{\frac {1}{z+n-1}\right)}
=
lim
n
→
∞
(
∫
0
∞
e
−
t
−
e
−
n
t
t
d
t
−
∑
r
=
0
n
−
1
∫
0
∞
e
−
(
z
+
r
)
t
d
t
)
{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-nt}{t}dt-\sum \limits _{r=0}^{n-1}{\int _{0}^{\infty }{e^{-\left({z+r}\right)t}dt}\right)}
=
lim
n
→
∞
(
∫
0
∞
e
−
t
−
e
−
n
t
t
d
t
−
∫
0
∞
1
−
e
−
n
t
1
−
e
−
t
e
−
z
t
d
t
)
{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-nt}{t}dt-\int _{0}^{\infty }{\frac {1-e^{-nt}{1-e^{-t}e^{-zt}dt}\right)}
=
lim
n
→
∞
(
∫
0
∞
e
−
t
t
−
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
−
∫
0
∞
(
1
t
−
e
−
z
t
1
−
e
−
t
)
e
−
n
t
d
t
)
{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left({\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}{t}-{\frac {e^{-zt}{1-e^{-t}dt-\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{t}-{\frac {e^{-zt}{1-e^{-t}\right)e^{-nt}dt}\right)}
=
∫
0
∞
(
e
−
t
t
−
e
−
z
t
1
−
e
−
t
)
d
t
=
∫
0
∞
e
−
t
−
e
−
z
t
t
d
t
+
∫
0
∞
(
1
t
−
1
1
−
e
−
t
)
e
−
z
t
d
t
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {e^{-t}{t}-{\frac {e^{-zt}{1-e^{-t}\right)dt}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}{t}dt}+\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{t}-{\frac {1}{1-e^{-t}\right)e^{-zt}dt}
=
log
z
+
∫
0
∞
(
1
t
−
1
1
−
e
−
t
)
e
−
z
t
d
t
.
{\displaystyle =\log z+\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{t}-{\frac {1}{1-e^{-t}\right)e^{-zt}dt}.}
Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény analitikus a 0 pontban és ott hatványsora a következő alakú:
1
t
−
1
1
−
e
−
t
=
−
1
2
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
t
2
k
−
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{t}-{\frac {1}{1-e^{-t}=-{\frac {1}{2}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}{\left({2k}\right)!}t^{2k-1},}
ahol Bk ismét a Bernoulli-féle számokat jelöli. Függvényünk pozitív
t
{\displaystyle t}
ψ
(
z
)
∼
log
z
−
1
2
z
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
1
z
2
k
,
|
z
|
→
∞
,
|
arg
z
|
<
π
2
.
{\displaystyle \psi \left(z\right)\sim \log z-{\frac {1}{2z}-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}{2k}{\frac {1}{z^{2k},\;\left|z\right|\to \infty ,\;\left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}.}
Most mindkét oldalt integrálva
log
Γ
(
z
)
∼
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
C
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
{\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)\sim \left({z-{\frac {1}{2}\right)\log z-z+C+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}{2k\left({2k-1}\right)z^{2k-1}
adódik valamilyen
C
{\displaystyle C\,\!}
log
Γ
(
z
)
+
log
Γ
(
z
+
1
2
)
+
(
2
z
−
1
)
log
2
=
log
Γ
(
2
z
)
+
1
2
log
π
.
{\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)+\log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}\right)+\left({2z-1}\right)\log 2=\log \Gamma \left({2z}\right)+{\frac {1}{2}\log \pi .}
Határértéket véve
C
=
1
2
log
(
2
π
)
{\displaystyle C={\frac {1}{2}\log \left({2\pi }\right)}
|
arg
z
|
<
π
2
{\displaystyle \left|{\arg z}\right|<{\frac {\pi }{2}
|
arg
z
|
<
π
{\displaystyle \left|{\arg z}\right|<\pi }
Érdemes észrevenni, hogy ha a kapott eredményt ismét a Legendre-féle összefüggésbe helyettesítjük
log
Γ
(
z
+
1
2
)
{\displaystyle \log \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}\right)}
z
=
n
+
1
2
{\displaystyle z=n+{\frac {1}{2}
log
Γ
(
n
+
1
)
=
log
n
!
{\displaystyle \log \Gamma \left({n+1}\right)=\log n!}
A fentebb bizonyított aszimptotikus sor semmilyen
z
{\displaystyle z\,\!}
A De Moivre-féle sor mindkét oldalának exponenciálissá tételével kapjuk a szintén Stirling-formula néven ismert formulát:
Γ
(
z
)
∼
(
z
e
)
z
2
π
z
∑
k
=
0
∞
(
2
k
+
1
)
!
!
a
2
k
+
1
z
k
=
(
z
e
)
z
2
π
z
(
1
+
1
12
z
+
1
288
z
2
−
⋯
)
,
{\displaystyle \Gamma \left(z\right)\sim \left({\frac {z}{e}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({2k+1}\right)!!a_{2k+1}{z^{k}=\left({\frac {z}{e}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}\left({1+{\frac {1}{12z}+{\frac {1}{288z^{2}-\cdots }\right),}
a
k
{\displaystyle a_{k}\,\!}
a
k
=
a
k
−
1
k
+
1
−
1
2
∑
i
=
1
k
−
1
a
i
a
k
+
1
−
i
,
a
1
=
1
,
a
2
=
1
3
{\displaystyle a_{k}={\frac {a_{k-1}{k+1}-{\frac {1}{2}\sum \limits _{i=1}^{k-1}{a_{i}a_{k+1-i},\;a_{1}=1,\;a_{2}={\frac {1}{3}
rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára
Γ
(
z
+
1
2
)
∼
(
z
e
)
z
2
π
∑
k
=
0
∞
b
k
z
k
=
(
z
e
)
z
2
π
(
1
−
1
24
z
+
1
1152
z
2
+
⋯
)
{\displaystyle \Gamma \left({z+{\frac {1}{2}\right)\sim \left({\frac {z}{e}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}{z^{k}=\left({\frac {z}{e}\right)^{z}{\sqrt {2\pi }\left({1-{\frac {1}{24z}+{\frac {1}{1152z^{2}+\cdots }\right)}
adódik. Bevezetve a
c
k
:=
(
2
k
+
1
)
!
!
a
2
k
+
1
{\displaystyle c_{k}:=\left({2k+1}\right)!!a_{2k+1}
b
k
=
1
2
k
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
2
i
c
k
−
i
c
i
.
{\displaystyle b_{k}={\frac {1}{2^{k}\sum \limits _{i=0}^{k}{\left({-1}\right)^{i}2^{i}c_{k-i}c_{i}.}
Tetszőleges pozitív egész
N
{\displaystyle N}
log
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
1
2
log
(
2
π
)
+
∑
k
=
1
N
−
1
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
+
R
N
(
z
)
{\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=\left({z-{\frac {1}{2}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}\log \left({2\pi }\right)+\sum \limits _{k=1}^{N-1}{\frac {B_{2k}{2k\left({2k-1}\right)z^{2k-1}+R_{N}\left(z\right)}
és
Γ
(
z
)
=
(
z
e
)
z
2
π
z
(
∑
k
=
0
N
−
1
c
k
z
k
+
R
~
N
(
z
)
)
.
{\displaystyle \Gamma \left(z\right)=\left({\frac {z}{e}\right)^{z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}\left({\sum \limits _{k=0}^{N-1}{\frac {c_{k}{z^{k}+{\widetilde {R}_{N}\left(z\right)}\right).}
Ekkor[ 1]
|
R
N
(
z
)
|
≤
|
B
2
N
|
2
N
(
2
N
−
1
)
|
z
|
2
N
−
1
{
1
ha
|
arg
z
|
≤
π
4
,
|
csc
(
arg
z
)
|
ha
π
4
<
|
arg
z
|
<
π
2
,
sec
2
N
(
arg
z
2
)
ha
|
arg
z
|
<
π
,
{\displaystyle \left|{R_{N}\left(z\right)}\right|\leq {\frac {\left|{B_{2N}\right|}{2N\left({2N-1}\right)\left|z\right|^{2N-1}{\begin{cases}1&{\text{ ha }\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4},\\\left|{\csc(\arg z)}\right|&{\text{ ha }{\frac {\pi }{4}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2},\\\sec ^{2N}\left({\frac {\arg z}{2}\right)&{\text{ ha }\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}
és[ 2]
|
R
~
N
(
z
)
|
≤
(
|
c
N
|
|
z
|
N
+
|
c
N
+
1
|
|
z
|
N
+
1
)
{
1
ha
|
arg
z
|
≤
π
4
,
|
csc
(
arg
z
)
|
ha
π
4
<
|
arg
z
|
<
π
2
.
{\displaystyle {\big |}{\widetilde {R}_{N}\left(z\right){\big |}\leq \left({\frac {\left|{c_{N}\right|}{\left|z\right|^{N}+{\frac {\left|{c_{N+1}\right|}{\left|z\right|^{N+1}\right){\begin{cases}1&{\text{ ha }\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4},\\\left|{\csc(\arg z)}\right|&{\text{ ha }{\frac {\pi }{4}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}.\end{cases}
További információk és hibabecslések a megjelölt forrásokban találhatók.
1763 -ban Thomas Bayes John Cantonnak írt levelében bizonyította be, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[1]
A Stirling-formula egy konvergens változatának meghatározásához a következő összefüggést alkalmazhatjuk:
∫
0
∞
2
arctan
t
z
exp
(
2
π
t
)
−
1
d
t
=
log
Γ
(
z
)
−
(
z
−
1
2
)
log
z
+
z
−
1
2
log
(
2
π
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}{\exp(2\pi t)-1}\,dt=\log \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}\right)\log z+z-{\frac {1}{2}\log(2\pi ).}
Célba érünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha
z
n
¯
=
z
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
{\displaystyle z^{\overline {n}=z(z+1)\cdots (z+n-1)}
∫
0
∞
2
arctan
t
z
exp
(
2
π
t
)
−
1
d
t
=
∑
n
=
1
∞
c
n
(
z
+
1
)
n
¯
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan {\frac {t}{z}{\exp(2\pi t)-1}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}{(z+1)^{\overline {n}
ahol
c
n
=
1
n
∫
0
1
x
n
¯
(
x
−
1
2
)
d
x
=
1
2
n
∑
k
=
1
n
k
|
s
(
n
,
k
)
|
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
,
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}\left(x-{\frac {1}{2}\right)\,dx={\frac {1}{2n}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {k\left|{s(n,k)}\right|}{\left({k+1}\right)\left({k+2}\right)},}
ahol
s
(
n
,
k
)
{\displaystyle {s\left({n,k}\right)}
log
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
2
)
log
z
−
z
+
log
2
π
2
{\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}\right)\log z-z+{\frac {\log {2\pi }{2}
+
1
12
(
z
+
1
)
+
1
12
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
+
59
360
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
+
29
60
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
(
z
+
3
)
(
z
+
4
)
+
⋯
,
{\displaystyle {}+{\frac {1}{12(z+1)}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}+\cdots ,}
ami konvergens, ha
ℜ
(
z
)
>
0
{\displaystyle \Re (z)>0}
Az alábbiakban néhány zárt közelítés látható, amelyek a "sima" Stirling-formulánál jobb becsléseket adnak.
Gosper [2] :
n
!
∼
(
n
e
)
n
2
π
(
n
+
1
6
)
{\displaystyle n!\sim \left({\frac {n}{e}\right)^{n}{\sqrt {2\pi \left({n+{\frac {1}{6}\right)}
Robert H. Windschitl [3] :
n
!
∼
(
n
e
n
sinh
1
n
)
n
2
π
n
{\displaystyle n!\sim \left({\frac {n}{e}{\sqrt {n\sinh {\frac {1}{n}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}
Nemes Gergő [4] :
n
!
∼
(
n
e
(
1
+
1
15
n
2
)
5
/
4
)
n
2
π
n
{\displaystyle n!\sim \left({\frac {n}{e}\left({1+{\frac {1}{15n^{2}\right)^{5/4}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}
n
!
∼
(
1
e
(
n
+
1
12
n
−
1
10
n
)
)
n
2
π
n
{\displaystyle n!\sim \left({\frac {1}{e}\left({n+{\frac {1}{12n-{\frac {1}{10n}\right)}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}
Ez utóbbi három formula jól alkalmazható programozható számológépekben a gamma-függvény értékeinek közelítésére.
A relatív hiba (log x!) és (x log x – x) között x növekedtével 0-hoz tart A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:
log
n
!
≈
n
log
n
−
n
{\displaystyle \log n!\approx n\log n-n\,}
minden elég nagy természetes n számra, ahol log a természetes logaritmus függvény.
Jegyzetek
↑ F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 (1990), 453–470.
↑ G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145 (2015), 571–596.
Faktoriális algoritmusok Faktoriális közelítései Számológépek a faktoriálishoz 
