Աբելյան խումբ

Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբ, խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են, աբելյան խումբ ${\displaystyle (G,*)}$, եթե ${\displaystyle a*b=b*a}$ ցանկացած երկու տարրերի համար ${\displaystyle a,\;b\in G}$։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատին․՝ additivus) գրառում, այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է ${\displaystyle +}$ նշանով և անվանվում է գումարում^[1]։

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

• Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
• Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած ${\displaystyle x=a^{n}$ և ${\displaystyle y=a^{m}$, որ

  ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$։

  • Մասնավորապես, ամբողջ թվի ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,}$ համար։
• Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել ${\displaystyle \mathbb {R} }$ իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
• Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

• Վեկտորական տարածությունում համաչափության համանմանությամբ, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ ունի կարգ։ Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը։

• Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
  • իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
• Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք ${\displaystyle n}$ը բնական թիվ է, իսկ ${\displaystyle x}$ը տեղափոխական խմբի տարր ${\displaystyle G}$ գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ ${\displaystyle nx}$ կարելի է որոշել ինչպես ${\displaystyle x+x+\ldots +x}$ (${\displaystyle n}$ անգամ) և ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$։
  • Պնդումները և թեորեմները, ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։ Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդելի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։
• Հոմոմորֆիզմ բազմություն ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}$ բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ ${\displaystyle G}$-ից ${\displaystyle H}$, նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք ${\displaystyle f,\;g:G\to H}$ երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը ${\displaystyle f+g}$, տրված ինչպես ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե ${\displaystyle H}$ չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
• Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն ${\displaystyle Z(G)}$ հասկացության հետ, ${\displaystyle G}$ խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից, որոնք տեղափոխում են ${\displaystyle G}$ խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում»։ Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}$ իզոմորֆ է ուղղակի գումարին ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}$ և ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}$ այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ ${\displaystyle m}$ և ${\displaystyle n}$ փոխադարձ պարզ են։ Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել ${\displaystyle G}$ ուղղակի գումարի տեսքի

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}$

երկու տարբեր եղանակներով։

• Որտեղ թիվ ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$ պարզ աստիճանի է։

• Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ ${\displaystyle \mathbf {C} }$, որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ ${\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, որ ${\displaystyle d^{2}=0}$: Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ ${\displaystyle \ker \,d}$ ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d}$ սահմանային։

• Հանրահաշվական համակարգ

• Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7։