Հունարենի մեծատառ սիգմա, գումարի պայմանական նշան Գումար (լատին․ ՝ summa -ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր , ֆունկցիաներ , վեկտորներ , մատրիցներ ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը ։
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
(
a
+
b
)
⋅
c
=
a
⋅
c
+
b
⋅
c
{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
c
⋅
(
a
+
b
)
=
c
⋅
a
+
c
⋅
b
{\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}
Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների , իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։
Դիցուք՝
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
b
{\displaystyle b}
B
{\displaystyle B}
A
⊂
N
,
B
⊂
N
{\displaystyle A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N} }
a
+
b
{\displaystyle a+b}
c
{\displaystyle c}
C
⊂
N
{\displaystyle C\subset \mathbb {N} }
C
=
A
⊔
B
{\displaystyle C=A\sqcup B}
Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ (սիգմա)․
∑
i
=
m
n
a
i
=
a
m
+
a
m
+
1
+
a
m
+
2
+
⋯
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}
որտեղ․ i - գումարման ինդեքսն է, ai - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, m - գումարման ներքին սահմանը, n -գումարման վերին սահմանը։ Նշանի տակ գրված «i = m» նշանակում է, որ i -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է m - ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ i -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ i = n [ 1]
Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.
Գրառման օրինակներ
∑
i
=
1
100
i
=
1
+
2
+
3
+
4
+
.
.
.
+
99
+
100
{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100}
∑
i
=
3
6
i
2
=
3
2
+
4
2
+
5
2
+
6
2
=
86
{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}
Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։
∑
a
i
2
=
∑
i
=
1
n
a
i
2
{\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}
Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական
k
{\displaystyle k}
∑
0
≤
k
<
100
f
(
k
)
{\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
∑
x
∈
S
f
(
x
)
{\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}
d
{\displaystyle d}
n
{\displaystyle n}
μ
(
d
)
{\displaystyle \mu (d)}
∑
d
|
n
μ
(
d
)
{\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}
Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․
∑
ℓ
,
ℓ
′
=
∑
ℓ
∑
ℓ
′
{\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}
Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։
1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․
∑
i
=
0
n
(
a
0
+
b
⋅
i
)
=
(
n
+
1
)
a
0
+
a
n
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}{2}
2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․
∑
i
=
0
n
a
0
⋅
b
i
=
a
0
⋅
1
−
b
n
+
1
1
−
b
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}{1-b}
3.
∑
k
=
1
n
k
3
=
[
n
(
n
+
1
)
2
]
2
=
(
∑
k
=
1
n
k
)
2
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}
4.
∑
i
=
0
n
(
1
p
)
i
=
p
p
−
1
(
1
−
1
p
n
+
1
)
,
p
≠
1
,
n
≥
0
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}
Ապացույց
∑
i
=
0
n
(
1
p
)
i
=
∑
i
=
0
n
1
⋅
1
p
i
=
1
⋅
1
−
(
1
p
)
n
+
1
1
−
1
p
=
p
n
+
1
−
1
p
n
+
1
p
−
1
p
=
p
n
+
1
−
1
p
n
(
p
−
1
)
=
p
p
−
1
(
1
−
1
p
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}\right)}^{n+1}{1-{\frac {1}{p}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}{\frac {p-1}{p}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}={\frac {p}{p-1}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}\right)}
5.
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
n
p
n
+
2
−
(
n
+
1
)
p
n
+
1
+
p
(
p
−
1
)
2
,
p
≠
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2},\quad p\neq 1}
Ապացույց
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
∑
i
=
1
n
i
p
i
=
p
⋅
∑
i
=
1
n
i
p
i
−
1
=
p
⋅
∑
i
=
0
n
−
1
(
i
+
1
)
p
i
=
p
⋅
(
∑
i
=
0
n
−
1
i
p
i
+
∑
i
=
0
n
−
1
p
i
)
=
p
⋅
∑
i
=
0
n
i
p
i
−
p
⋅
n
p
n
+
p
⋅
1
−
p
n
1
−
p
⇒
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}{1-p}\Rightarrow }
⇒
(
1
−
p
)
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
−
n
p
n
+
1
(
1
−
p
)
+
p
−
p
n
+
1
1
−
p
⇒
∑
i
=
0
n
i
p
i
=
n
p
n
+
2
−
(
n
+
1
)
p
n
+
1
+
p
(
1
−
p
)
2
{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}{1-p}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}
6.
∑
i
=
0
n
p
i
=
(
p
−
1
)
∑
i
=
0
n
−
1
(
(
n
−
i
)
p
i
)
+
n
+
1
,
p
≠
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}
Հարկ է նշել,որ
p
=
10
{\displaystyle p=10\ }
∑
i
=
0
n
10
i
=
9
⋅
∑
i
=
0
n
−
1
(
(
n
−
i
)
10
i
)
+
n
+
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}
1
=
9
⋅
0
+
1
,
11
=
9
⋅
1
+
2
,
111
=
9
⋅
12
+
3
,
1111
=
9
⋅
123
+
4
,
11111
=
9
⋅
1234
+
5
{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}
Անորոշ գումար
a
i
{\displaystyle a_{i}
i
{\displaystyle i}
f
(
i
)
{\displaystyle f(i)}
∑
i
a
i
{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}
∀
i
:
f
(
i
+
1
)
−
f
(
i
)
=
a
i
{\displaystyle \forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}
Եթե գտնվել է անորոշ գումար
∑
i
a
i
=
f
(
i
)
{\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}
∑
i
=
a
b
a
i
=
f
(
b
+
1
)
,
f
(
a
)
{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1),f(a)}
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз. 
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c341ce59623204355f8577a50b0e02b49e30240d)
