Լամեի հաստատուններ

Լամեի հաստատուններ, դեֆորմացվող իզոտրոպ պինդ մարմնի որևէ կետում առաձգական լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչները կապող մեծություններ։ Կոչվում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Լամեի անվամբ։ Լամեի հաստատուններով լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչների կապը գրվում է

${\displaystyle \sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I}$

տեսքով, որտեղ OT-ն և X-և լարման նորմալ և շոշափող բաղադրիչներն են, e-ը՝ դեֆորմացիայի բաղադրիչները, X-ն և |ւ-ն՝ Լ. հ.։ Առաձգականության մոդուլների և v Պուասոնի գործակցի E հետ Լամեի հաստատունները կապված են

${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}$

${\displaystyle \mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}$

առնչություններով, որտեղ E-ն երկայնական առաձգականության մոդուլն է, G-ն՝ սահքի մոդուլը։

Դիցուք եռաչափ տարածությունում տրված է կոորդինատների համակարգ՝ ${\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}$:Պատկերացնենք անվերջ փոքր վեկտոր ${\displaystyle ds}$-ն՝ ներկայացված վեկտորների դեկարդյան ${\displaystyle i,j,k}$ բազիսով և կորագիծ կոորդինատային համակարգում բազիսային վեկտորների ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}$ հավաքածույով։

${\displaystyle ds=idx+jdy+kdz}$

${\displaystyle ds=e_{1}dq_{1}+e_{2}dq_{2}+e_{3}dq_{3}$

Որպեսզի ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}$ մեծությունները կարողանան դիտարկվել վորպես էլեմենտի կոորդինատներ, տարածության որոշակի մասում, անհրաժեշտ է հակառակ արտահայտությունը.

${\displaystyle {\begin{cases}x=x(q_{1},q_{2},q_{3})\\y=y(q_{1},q_{2},q_{3})\\z=z(q_{1},q_{2},q_{3})\end{cases}$

(1)  Հավասարման մեջ դեկարդյան կոորդինատների դիֆերենցիալները արտահայտենք կորագծային կոորդինատների դիֆերենցիալներով.

${\displaystyle dx={\partial x \over \partial q_{1}dq_{1}+{\partial x \over \partial q_{2}dq_{2}+{\partial x \over \partial q_{3}dq_{3},}$

${\displaystyle dy={\partial y \over \partial q_{1}dq_{1}+{\partial y \over \partial q_{2}dq_{2}+{\partial y \over \partial q_{3}dq_{3},}$

${\displaystyle dz={\partial z \over \partial q_{1}dq_{1}+{\partial z \over \partial q_{2}dq_{2}+{\partial z \over \partial q_{3}dq_{3}$

այդ դեպքում.

${\displaystyle e_{1}=i{\partial x \over \partial q_{1}+j{\partial y \over \partial q_{1}+k{\partial z \over \partial q_{1},}$

${\displaystyle e_{2}=i{\partial x \over \partial q_{2}+j{\partial y \over \partial q_{2}+k{\partial z \over \partial q_{2},}$

${\displaystyle e_{3}=i{\partial x \over \partial q_{3}+j{\partial y \over \partial q_{3}+k{\partial z \over \partial q_{3}$

Եթե կոորդինատների ${\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}$ համակարգը ուղղանկյուն է, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետում ${\displaystyle e_{1},e_{2}$ և ${\displaystyle e_{3}$ վեկտորները զույգ առ զույգ ուղղանկյուն են։

${\displaystyle e_{i}e_{j}=\lVert e_{i}\rVert ^{2}\delta _{i}j}$

Որտեղ ${\displaystyle \lVert e_{i}\rVert }$ -ն ${\displaystyle e_{i}$վեկտորի նորմն է,

${\displaystyle \delta _{i}j}$-ն Կրոնեկերի դելտա-սիմվոլը, որը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

${\displaystyle \delta _{i}j=\delta _{j}i={\begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases}$

${\displaystyle e_{i}$ վեկտորի նորմ անվանում են նաև Լամեի գործակից` ${\displaystyle H_{i}$, ${\displaystyle q_{i}$ կոորդինատի համար ${\displaystyle M}$ կետում։

${\displaystyle H_{i}={\sqrt {\biggl (}{\partial x \over \partial q_{i}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial y \over \partial q_{i}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\partial z \over \partial q_{i}{\biggr )}^{2}$, ${\displaystyle (i=1,2,3)}$

(1)  և (2) բանաձևերից հետևում է որ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կամայական թեքի կորության երկարության դիֆերենցիալի քառակուսին կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

${\displaystyle ds^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{3}^{2}$

Եթե ${\displaystyle \{q_{1},q_{2},q_{3}\}$ համակարգից երկու կոորդինատներ ֆիքսենք, ապա (7) հավասարումը կբերվի, Լամեի գործակիցների համար, հետևյալ տեսքի.

${\displaystyle H_{i}={\partial s \over \partial q_{i}$ ${\displaystyle (i=1,2,3)}$

Արդյունքում մենք ստանում ենք Լամեի գործակիցների հաշվարկի մեկ այլ միջոց, համաձայն որի բավական է նշել կոորդինատային ${\displaystyle q_{i}$ գծի անվերջ փոքր էլեմենտի կորի երկարության հարաբերությունը ${\displaystyle q_{i}$ կոորդինատի դիֆերենցիալին:Օրինակ գլանային կոորդինատների համակարգում ${\displaystyle \rho }$ և ${\displaystyle z}$ կոորդինատային գծերն են հանդիսանում կիսաուղիղը և ուղիղը համապատասխանաբար, որի հետևանքով ${\displaystyle H_{\rho }=H_{z}=1}$ :Քանի որ կոորդինատային ${\displaystyle \varphi }$ գիծ հանդիսանում է ${\displaystyle \rho }$ շառավղով շրջանագիծը, ապա ${\displaystyle ds=\rho d\varphi }$ և ${\displaystyle H_{\varphi }=\rho :}$Կորագիծ կոորդինատային համակարգում ծավալի էլեմենտը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle dV=H_{1}H_{2}H_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$

Այդ դեպքում գլանային կոորդինատային համակարգում `

${\displaystyle dV=\rho d\rho d\varphi dz}$

Գնդային կոորդինատային համակարգում՝

${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta drd\varphi d\theta :}$

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 479)։