Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

${\displaystyle \mu (n)}$ որոշված է բոլոր ${\displaystyle n}$ բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված ${\displaystyle n}$ թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$, եթե ${\displaystyle n}$-ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
• ${\displaystyle \mu (n)=-1}$, եթե ${\displaystyle n}$-ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$, եթե ${\displaystyle n}$-ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել ${\displaystyle \mu (1)=1}$։

• Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$ հավասարությունը։
• ${\displaystyle n}$ ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}$

Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}\right]=1}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}=0,}$ որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}=-1}$
• Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}={\frac {1}{\zeta (s)}$.

Շարքը բացարձակ զուգամետ է ${\displaystyle {\rm {Re}\,s>1}$ ուղղի վրա, ${\displaystyle {\rm {Re}\,s=1}$ ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, ${\displaystyle 1/2<{\rm {Re}\,s<1}$ միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ ${\displaystyle {\rm {Re}\,s<1/2}$ դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ ${\displaystyle {\rm {Re}\,s>1}$ ճիշտ է նաև․

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}={\frac {p^{s}{(1-p^{s})\zeta (s)},}$ որտեղ p — պարզ թիվ է։
• Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).}$

• Ճշմարիտ են նաև․

${\displaystyle {\frac {1}{x}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)}$ երբ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{x}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}+O({\frac {1}{\sqrt {x})}$,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է ${\displaystyle 1-1/\zeta (2)=0,3920729}$, իսկ միավորների խտությունը՝ ${\displaystyle 1/2\zeta (2)=0,30396355}$։

Երկու թվաբանական ${\displaystyle f}$ և ${\displaystyle g}$ ֆունկցիաների համար

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

այն և միայն այն դեպքում, երբ

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}\right)}$։

Երկու իրական ${\displaystyle f(x)}$ և ${\displaystyle g(x)}$ ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են ${\displaystyle x\geqslant 1}$ համար

${\displaystyle g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}\right)}$

այն և միայն այն դեպքում, երբ

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}\right)}$։

Այստեղ ${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}$ գումարը մեկնաբանվում է որպես ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$։

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն ${\displaystyle \prec }$ հարաբերությամբ։ Համարենք, որ ${\displaystyle a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b}$։

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

${\displaystyle {\mu _{A}^{*}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{\mu _{A}^{*}(a,z)},&a\prec b\\0,&b\prec a\end{cases}$ ռեկուրենտ առընչությամբ։

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ ${\displaystyle A}$ բազմության վրա և տեղի ունի ${\displaystyle g(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{f(y)}$ պայմանը։

Ապա ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{y\preccurlyeq x}{\mu _{A}^{*}(y,x)g(y)}$։

Եթե ${\displaystyle A}$ բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ ${\displaystyle a\prec b}$ հարաբերության փոխարեն ${\displaystyle a\mid b\land a\not =b}$ հարաբերությունը, ապա կստանանք ${\displaystyle {\mu _{\mathbb {N} }^{*}(a,b)=\mu \left({\frac {b}{a}\right)}$, որտեղ ${\displaystyle \mu }$ - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Դիրիխլեյի բանաձևը

• Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5(չաշխատող հղում), 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6(չաշխատող հղում), 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса