Նյուտոնի երկանդամ

Երբ ${\displaystyle n=0}$ երկանդամը ընդունում է ${\displaystyle 1}$ արժեքը.

${\displaystyle (a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}a^{0}b^{0}$

Ինդուկցիոն քայլեր. ցանկացած ${\displaystyle n}$-ի դեպքում՝

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Ապացուցենք ${\displaystyle n+1}$-ի համար.

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Սկսենք ապացույցը.

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$

Երբ ${\displaystyle k=0}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}$

Երբ ${\displaystyle k=n}$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}a^{n-k+1}b^{k}$

${\displaystyle a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}\right)a^{n-k+1}b^{k}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

Ապացուցված է։