1 − 2 + 4 − 8 + · · ·

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In matematica, 1 − 2 + 4 − 8 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di due a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −2.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-2)^{i}$

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

${\displaystyle 1-2+4-8+\cdots =(1+4+\cdots )-(2+8+\cdots )}$ che corrisponde a ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i}-\sum _{i=0}^{\infty }2^{2i+1}$.

Analizziamo ora la prima sommatoria: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{2i}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere ${\displaystyle 2^{2i}=(2^{2})^{i}=4^{i}$ facendo diventare la somma ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }4^{i}$;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}4^{i}={\frac {1}{3}\cdot (4^{m+1}-1)}$

Analizziamo ora la seconda sommatoria: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{2i+1}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere ${\displaystyle 2^{2i+1}=2\cdot (2^{2})^{i}=2\cdot 4^{i}$ facendo diventare la somma ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2\cdot 4^{i}$, il ${\displaystyle 2}$ si può portare fuori e ottenere ${\displaystyle 2\cdot \sum _{i=0}^{\infty }4^{i}$.

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:${\displaystyle 2\cdot \sum _{i=0}^{m}4^{i}={\frac {2}{3}\cdot (4^{m+1}-1)}$.

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Caso nº1: il numero è dispari.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{1}(-2)^{i}=1-2=\sum _{i=0}^{0}2^{2i}-\sum _{i=0}^{0}2^{2i+1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}(-2)^{i}=1-2+4-8=\sum _{i=0}^{1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{1}2^{2i+1}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}2^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}2^{2i+1}$

La somma diventa quindi:${\displaystyle \sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}2^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}2^{2i+1}={\frac {1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)-{\frac {2}{3}\cdot (2^{m+1}-1)=-{\frac {1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)}$

Più precisamente abbiamo che:${\displaystyle 4^{\frac {m-1}{2}+1}=2^{m+1}$

Caso nº2: il numero è pari.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}(-2)^{i}=1-2+4=\sum _{i=0}^{1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{0}2^{2i+1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4}(-2)^{i}=1-2+4-8+16=\sum _{i=0}^{3}2^{2i}-\sum _{i=0}^{2}2^{2i+1}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-2)^{i}=\sum _{i=0}^{m-1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}2^{2i+1}$

La somma diventa quindi:${\displaystyle \sum _{i=0}^{m-1}2^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}2^{2i+1}={\frac {1}{3}\cdot (4^{m}-1)-{\frac {2}{3}\cdot (4^{m-1}-1)={\frac {1}{3}\cdot (4^{m}-2\cdot 4^{m-1}+1)}$ .

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = ${\displaystyle -{\frac {1}{3}\cdot (2^{m+1}-1)}$

m pari = ${\displaystyle {\frac {1}{3}\cdot (4^{m}-2\cdot 4^{m-1}+1)}$

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

V · D · M Successioni e Serie
Successioni di interi	Base Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Progressione armonica · Progressione aritmetica · Numeri quadrati · Numeri cubici · Fattoriale · Potenze di 2 · Potenze di 3 · Potenze di 10 Avanzate Successione completa · Numeri di Fibonacci · Numeri figurati · Numeri ettagonali · Numeri esagonali · Numeri di Lucas · Numeri di Pell · Numeri pentagonali · Numero poligonale · Numero triangolare
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Proprietà delle serie	Tendenza Serie alternata · Serie convergente · Serie divergente · Serie telescopica Convergenza Convergenza incondizionata · Convergenza assoluta · Convergenza uniforme
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Tipi di serie	Serie di Taylor · Serie di potenze · Serie formale di potenze · Serie di Laurent · Serie di Puiseux · Serie di Dirichlet · Serie trigonometrica · Serie di Fourier · Serie generatrice
Serie Ipergeometrica	Serie ipergeometrica generalizzata · Funzione ipergeometrica di un argomento di matrice · Serie di Lauricella · Serie modulare · Serie ipergeometrica confluente · Serie theta

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