In algebra lineare, l'autodecomposizione è la fattorizzazione di una matrice in una forma canonica, per cui la matrice è rappresentata in funzione dei suoi autovalori e autovettori . Solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Quando la matrice da fattorizzare è una matrice normale o reale simmetrica, l'autodecomposizione è detta "decomposizione spettrale", (riferimento al teorema spettrale).
Autodecomposizione di una matrice
Sia A una matrice quadrata n × n con n autovettori linearmente indipendenti
(dove i = 1, ..., n ). Allora A può essere fattorizzata come
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0edeaafb9644ef4c52881019a256add81d1356)
dove Q è la matrice n × n la cui i-esima colonna è l'autovettore qi di A, e Λ è la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono i corrispondenti autovalori, Λii = λ i . Si noti che solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Ad esempio, la matrice difettosa
(che è una matrice di taglio ) non può essere diagonalizzata.
Gli n autovettori qi sono generalmente normalizzati, ma non è necessario che lo siano. Un insieme non normalizzato di n autovettori, vi può anche essere usato come colonne di Q . Ciò può essere compreso osservando che la grandezza degli autovettori in Q viene annullata nella scomposizione dalla presenza di Q −1 .
La scomposizione può essere derivata dalla proprietà fondamentale degli autovettori:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5959a7b9ece5ccc993166b2f61f1d1b712f8be5)
Esempio
La matrice reale 2 × 2 A
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb8a3a1a61236fcff1a3626f7314badd043cbfb)
può essere scomposta in una matrice diagonale attraverso la moltiplicazione di una matrice non singolare B
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fc8d0433a8750525dd720f77b47c8dfd6c6294)
Quindi
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8379917a3e462547a942ca779777b4f1c5e3ce00)
per qualche matrice diagonale reale
.
Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione a sinistra per B :
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25f03d07d4ad15a1675e19146e361a7e0826b11)
L'equazione di cui sopra può essere scomposta in due equazioni simultanee :
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}\end{cases}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2a910bb46119fa8b9cad84b0516ed7e269083c)
Scomponendo gli autovalori x e y :
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a470eb5aae455023e456d7bd7f057dea2da7da5b)
lasciando
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f963f78c8a520e7ac8043d0c471e796d0b071143)
questo ci dà due equazioni vettoriali:
![{\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {A} \mathbf {a} =x\mathbf {a} \\\mathbf {A} \mathbf {b} =y\mathbf {b} \end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad1a6cd9b4ed113c652f8870101369cc6a889ce)
E può essere rappresentato da una singola equazione vettoriale che coinvolge due soluzioni come autovalori:
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e5cd752aa08d13eb76c4a78bc55851010f810)
dove λ rappresenta i due autovalori x e y, e u rappresenta i vettori a e b .
Spostando λ u per il lato sinistro e factoring u fuori
![{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c233e68a2b8f1ea66bcace3a6852097415a85efe)
Poiché B è non singolare, è essenziale che u sia diverso da zero. Perciò,
![{\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db26751cdb58e8be592236406c6f5f750e4a54c6)
così
![{\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb77447a5952462ac056bb8693d6e3c5ec40359)
dandoci le soluzioni degli autovalori per la matrice A come λ = 1 o λ = 3, e la matrice diagonale risultante dall'autodecomposizione di A è quindi
.
Rimettendo le soluzioni nelle equazioni simultanee di cui sopra
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eeb8b5a43502c215a07897da826ed1e9239ca22)
Risolvendo le equazioni, abbiamo
![{\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789401d1f6cf724495dd1e853d18f152c86acd59)
Quindi la matrice B richiesta per l'autodecomposizione di A è
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cab3fac0ee1d03d3df21eb824537b5d0b5af285)
cioè:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix},\qquad c,d\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab992e1ae08ec88e6b54b76ee0b28d897ccdf0b)
Collegamenti esterni