Classe di coniugio

In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Definizione

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo. Due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle G}$ sono detti coniugati se esiste un terzo elemento ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ tale che ${\displaystyle gag^{-1}=b}$. Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di ${\displaystyle G}$ in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{gag^{-1}:g\in G\}$

Proprietà

• L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, in particolare: ${\displaystyle Cl(e)=\{e\}$.
• Se ${\displaystyle G}$ è abeliano, ${\displaystyle Cl(a)=\{a\}$ per ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$.
• Se due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine.
• Un elemento di ${\displaystyle G}$ appartiene al centro ${\displaystyle Z(G)}$ di ${\displaystyle G}$ se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso.
• Se due elementi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine ${\displaystyle k}$, cioè ${\displaystyle a^{k}$ e ${\displaystyle b^{k}$.

Coniugio come azione di gruppi

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di ${\displaystyle G}$ in se stesso:

${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}.}$

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore (o centralizzante).

Una formula importante che lega il concetto di centralizzante (o centralizzatore) di un elemento con la classe di coniugio dello stesso è:

${\displaystyle |G\circ x|=|\{gxg^{-1}\in G|g\in G\}|=[G:C_{G}(x)],}$^[1]

Con ${\displaystyle G\circ x}$ la classe di coniugio di ${\displaystyle x}$ e con ${\displaystyle [G:C_{G}(x)]}$ l'indice in ${\displaystyle G}$ del centralizzante di ${\displaystyle x}$ tramite ${\displaystyle G}$.

Allo stesso modo si può definire l'azione di ${\displaystyle G}$ sulla famiglia dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle g\cdot S=gSg^{-1}=\{gxg^{-1}:x\in S\}.}$

Note

Bibliografia

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.

Voci correlate

• Gruppo (matematica)
• Teoria dei gruppi

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su classe di coniugio

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Classe di coniugio, su MathWorld, Wolfram Research.

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