Convergenza

In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito. Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Data una funzione continua ${\displaystyle f}$, si dice che ${\displaystyle f(x)}$ converge (o tende) al limite finito ${\displaystyle l}$ per ${\displaystyle x}$ che tende ad ${\displaystyle x_{0}$ se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle \delta (\varepsilon )>0}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ che soddisfa ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )}$ si ha che ${\displaystyle |f(x)-l|<\varepsilon }$. Ovvero:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}f(x)=l.}$

Analogamente, si dice che ${\displaystyle f(x)}$ converge al limite finito ${\displaystyle l}$ per ${\displaystyle x}$ che tende a infinito se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle K(\varepsilon )>0}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ soddisfacente la condizione ${\displaystyle |x|>K(\varepsilon )}$ si ha che ${\displaystyle |f(x)-l|<\varepsilon }$. Ovvero:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=l.}$

La convergenza di una successione numerica ${\displaystyle \{a_{n}\}$ di numeri reali si verifica quando per ${\displaystyle n\to \infty }$, a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione ${\displaystyle \{a_{n}\}$ converge al numero a per ${\displaystyle n\to \infty }$, e si scrive ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$, se ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ esiste un indice naturale ${\displaystyle N(\varepsilon )}$, in generale dipendente da ${\displaystyle \varepsilon }$, tale che la ${\displaystyle \|a_{n}-a\|<\varepsilon }$ per ogni ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$.

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$, siano contenuti nell'intorno ${\displaystyle a-\varepsilon <a_{n}<a+\varepsilon }$. Una successione convergente è necessariamente limitata.

Si consideri una successione di elementi ${\displaystyle \{a_{n}\}$. Si definisce serie associata ad ${\displaystyle \{a_{n}\}$ la somma:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$.

Per ogni indice ${\displaystyle k}$ della successione, si definisce serie delle somme parziali ${\displaystyle \{S_{k}\}$ associata a ${\displaystyle \{a_{n}\}$ la somma dei termini della successione ${\displaystyle \{a_{n}\}$ da ${\displaystyle a_{0}$ a ${\displaystyle a_{k}$:

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}$

Si dice che la serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ è convergente al limite ${\displaystyle L}$ se la relativa successione delle somme parziali ${\displaystyle S_{k}$ converge a ${\displaystyle L}$. Ovvero, si verifica che:

${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

se e solo se:

${\displaystyle L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}$

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni ${\displaystyle f(x)}$. Data una successione di numeri reali ${\displaystyle \{x_{n}\}$ che converge a un certo limite ${\displaystyle \xi }$ per ${\displaystyle n\to \infty }$, si ha:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta }$

In modo equivalente, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un intorno ${\displaystyle \delta (\varepsilon )>0}$, in generale dipendente da ${\displaystyle \varepsilon }$, tale che:

${\displaystyle \|f(x)-\eta \|<\varepsilon }$

qualora si verifichi:

${\displaystyle \|x-\xi \|<\delta }$

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di ${\displaystyle x}$, allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

${\displaystyle \eta -\varepsilon <f(x)<\eta +\varepsilon }$

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Si supponga di avere una funzione ${\displaystyle f(x)}$ tale che ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ con α appartenente a un certo intervallo ${\displaystyle J}$. Si può porre:

${\displaystyle x=x-g(x)f(x)=\phi (x)\qquad g(x)\neq 0\quad \forall x\in J}$

Si ha dunque:

${\displaystyle \phi (\alpha )=\alpha }$

Se esiste ${\displaystyle \delta >\ 0}$ tale che:

${\displaystyle [\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J\ }$

e se esiste ${\displaystyle k\in (0,1)}$ tale che:

${\displaystyle \forall x\in J,|\phi '(x)|\leq k}$

allora si ha:

• Se ${\displaystyle x_{0}\in J}$ allora:

${\displaystyle x_{i}=\phi (x_{i-1})\quad i=1,2,3,\dots }$

• ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\alpha }$
• ${\displaystyle \alpha }$ è l'unica radice in ${\displaystyle J}$

Premesso che:

${\displaystyle x_{0}\in J\qquad |x_{0}-\alpha |\leq \delta \qquad \xi \in J}$

si ha:

${\displaystyle |\alpha |\leq |x_{0}-\alpha |}$

Oltre ad avere:

${\displaystyle x_{1}\in (x_{0},\alpha )}$

si verifica che:

${\displaystyle x_{i}\in (x_{i-1},\alpha )\quad i\in \mathbb {N} }$

Si ottiene:

${\displaystyle |x_{i}-\alpha |=|\phi (x_{i-1})-\phi (\alpha )|=|\phi '(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\leq k|x_{0}-\alpha |\leq k^{2}|x_{i-2}-\alpha |\leq ....\leq k^{i}|x_{0}-\alpha |}$

Poiché ${\displaystyle k^{i}$ tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

${\displaystyle |\beta -\alpha |=|\phi (\beta )-\phi (\alpha )|=|\phi (\xi )(\beta -\alpha )|\leq k|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}$

Il fatto che:

${\displaystyle |\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}$

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Per le successioni ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n}$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

• La convergenza uniforme:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$

Per le serie di funzioni ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x_{0})}$ converge per ogni ${\displaystyle x_{0}$.
• La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
• La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$ convergente tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\ }$

per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle n}$.

Data una successione di variabili casuali ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}$, vi sono più tipi di convergenza:

• La convergenza in distribuzione:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$

dove ${\displaystyle F_{n}$ e ${\displaystyle F}$ sono le funzioni di ripartizione delle ${\displaystyle X_{n}$ e del limite ${\displaystyle X}$ rispettivamente.

• La convergenza in probabilità:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|<\varepsilon )=1}$

• La convergenza quasi certa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}=X}$

• La convergenza in media r-esima:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E|X_{n}-X|^{r}=0\qquad E|X_{n}|^{r}<\infty \quad \forall n}$

• Infinito (matematica)
• Limite (matematica)
• Successione (matematica)
• Serie
• continuità
• Integrale
• Teorema della convergenza monotona
• Teorema della convergenza dominata

• (EN) convergence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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