Frazione unitaria

In matematica, una frazione unitaria (¹⁄_n) è una frazione avente numeratore unitario e al denominatore un intero positivo (n), del quale non rappresenta altro che il reciproco; può essere scritta quindi nella notazione più classica ${\frac {1}{n$ (con il numero sotto la linea di frazione) o $n^{-1$ (con il numero elevato a esponente negativo).

Definizione corretta di Unità Frazionaria

L'unità frazionaria 1/n è una delle n parti uguali in cui è stato diviso un intero.

Somma algebrica (somma e differenza): ${\frac {1}{a}\pm {\frac {1}{b}={\frac {b\pm a}{ab$ ${\frac {1}{a}\pm {\frac {1}{b}={\frac {b\pm a}{ab$
- sommatoria
: $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{1}\dots a_{n}{a_{i}{a_{1}\dots a_{n$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{1}\dots a_{n}{a_{i}{a_{1}\dots a_{n$ ; ottimizzando con il minimo comune multiplo ${\mbox{mcm}(a_{1},...,a_{n})$ ${\mbox{mcm}(a_{1},...,a_{n})$ si ha la forma $={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mbox{mcm}{a_{i}{\mbox{mcm$ $={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mbox{mcm}{a_{i}{\mbox{mcm$
- se $a$ è costante
: $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a}={\frac {n}{a$
Moltiplicazione: ${\frac {1}{a}\times {\frac {1}{b}={\frac {1}{ab$ ${\frac {1}{a}\times {\frac {1}{b}={\frac {1}{ab$
- produttoria
: $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}={\frac {1}{a_{1}\dots a_{n$ $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}={\frac {1}{a_{1}\dots a_{n$
- se $a$ è costante
: $\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a}={\frac {1}{a^{n$
Divisione: ${\frac {1}{a}\div {\frac {1}{b}={\frac {b}{a$

Le dimostrazioni possono essere ottenute facilmente attraverso la notazione esponenziale $a^{-1$ .

La serie infinita di tutte prime n frazioni unitarie è detta serie armonica

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}=1+{\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}+...+{\frac {1}{n}+...

e contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, diverge a più infinito ( $+\infty$ )

(EN) Eric W. Weisstein, Frazione unitaria, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Frazione unitaria, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	GND (DE) 4182866-5

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