Funzione di Mittag-Leffler

La funzione di Mittag-Leffler ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)}$ è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}{\Gamma (\alpha k+\beta )}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione Gamma.

Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.

Casi speciali

Funzione esponenziale:

${\displaystyle E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}{\Gamma (k+1)}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}{k!}=\exp(z).}$

Funzione degli errori:

${\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

Somma di una progressione geometrica:

${\displaystyle E_{0,1}(z)={\frac {1}{1-z}.}$

Funzione iperbolica:

${\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}).}$

Rappresentazione integrale di Mittag-Leffler

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}\int _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}{t^{\alpha }-z}\,dt}$

dove C passa per ${\displaystyle -\infty }$ e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.

Bibliografia

• M.G. Mittag-Leffler (1903), Une généralisation de l'intégrale de Laplace-Abel, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, 136 pp 537–539.
• M.G. Mittag-Leffler (1904), Sur la nouvelle fontion ${\displaystyle E_{\alpha }(x)}$ , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences 137, pp 554–558.
• M.G. Mittag-Leffler (1904), Sopra la funzione ${\displaystyle E_{\alpha }(x)}$, Rom. Acc. L. Rend. 13_1, 3-5.
• M.G. Mittag-Leffler (1905), Sur la representation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogene, Acta Mathematica, 29, pp 101–181.
• Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer, New York, 2014) 443 pages ISBN 978-3-662-43929-6

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Mathworld Mittag-Leffler function
• I. Podlubny The Laplace Transform Method for Linear Differential equations of the Fractional Order
• R. K. Saxena, A. M. Mathai e H. J. Haubold On Fractional Kinetic Equations

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