Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante ${\displaystyle f=1}$, e fornisce il volume della superficie considerata.

Si definisce elemento di volume in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}$ la k-forma:

${\displaystyle d\mathbf {V} =dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}$

Sia ${\displaystyle S}$ una k-superficie positivamente orientata in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}$ e ${\displaystyle f=1}$ la funzione costante definita sull'immagine di ${\displaystyle S}$. Allora:

${\displaystyle \int _{S}f(\mathbf {x} )dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}fd\mathbf {V} _{k}$

Sia ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{k}$ il dominio di parametrizzazione di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S:D\to \mathbb {R} ^{k}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana ${\displaystyle J_{S}$ positiva. Allora il volume della superficie è dato da:^[1]

${\displaystyle \int _{S}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}J_{S}(\mathbf {u} )d\mathbf {u} =\int _{S(D)}d\mathbf {x} }$

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, cioè:

${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz}$

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione ${\displaystyle D}$ di una funzione ${\displaystyle f(x,y,z),}$ ed è generalmente scritto:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,}$

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\phi )\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi }$

Integrando la funzione ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

${\displaystyle \iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}1\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1}$

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ che descrive la densità del cubo in un punto assegnato ${\displaystyle (x,y,z)}$ da ${\displaystyle f=x+y+z}$ si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

${\displaystyle \iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}\left(x+y+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}\left({\frac {1}{2}+y+z\right)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\left(1+z\right)\,dz={\frac {3}{2}$

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Teorema della divergenza
• Integrale di superficie
• Integrale di linea

• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di volume, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica