Modello di Klein

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami^[1] per dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley^[2] ed approfondita successivamente da Felix Klein^[3].

Come il disco di Poincaré, il modello di Klein è una palla $n$ -dimensionale. La geometria è definita però in modo differente: le geodetiche nel modello di Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplicità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiore complicazione nella descrizione degli angoli fra queste: il modello di Klein non è infatti un modello conforme, gli angoli fra rette non sono cioè quelli usuali del piano euclideo.

Definizione

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica definito sulla palla $n$ -dimensionale

B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione $n$ è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione $n=2$ : in questo caso lo spazio è veramente un disco (senza il bordo), centrato nell'origine e di raggio unitario.

Distanza

La distanza fra due punti è definita nel modo seguente. Siano $u$ e $v$ due punti del disco. Siano $u'$ e $v'$ i punti di intersezione della retta $r$ passante per $u$ e $v$ con il bordo del disco

\partial B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.

I punti $u',u,v,v'$ giacciono con questo ordine sulla retta $r$ . La distanza fra $u$ e $v$ è

d(u,v)={\frac {1}{2}\ln {\big (}\operatorname {b} (v',u',u,v){\big )

ovvero il logaritmo naturale del birapporto dei quattro punti. Con questa distanza il modello di Klein è uno spazio metrico.

Note

^ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, in Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, pp. 232–255, DOI:10.1007/BF02419615.
^ Arthur Cayley, A Sixth Memoire upon Quantics, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, pp. 61–91, DOI:10.1098/rstl.1859.0004.
^ Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, in Mathematische Annalen, vol. 4, 1871, pp. 573–625, DOI:10.1007/BF02100583.

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Collegamenti esterni

Beltrami, modello di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Klein-Beltrami model, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Klein-Beltrami Model, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4140078-1

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[1] Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, in Annali. di Mat., ser II, vol. 2, 1868, pp. 232–255, DOI:10.1007/BF02419615.

[2] Arthur Cayley, A Sixth Memoire upon Quantics, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 159, 1859, pp. 61–91, DOI:10.1098/rstl.1859.0004.

[3] Felix Klein, Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, in Mathematische Annalen, vol. 4, 1871, pp. 573–625, DOI:10.1007/BF02100583.

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