Problema decisionale

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Un problema decisionale nell'ambito della matematica riguarda un problema di scelta in cui si deve prendere una decisione tra un elevato numero di soluzioni (ammissibili) alternative, sulla base di uno o più criteri. Si parla di problemi decisionali soprattutto all'interno del campo della matematica applicata e, più nello specifico, della ricerca operativa.

La versione in Inglese di questa voce definisce un problema decisionale come un problema, appartenente alla teoria della computabilità ed alla teoria della complessità computazionale, che può essere posto sotto forma di una domanda riguardante i dati in ingresso a cui possa essere data una risposta nella forma "si" oppure "no". Un esempio di problema decisionale è, dato un numero naturale, stabilire se si tratta di un numero primo.

I problemi decisionali sono caratterizzati da:

• Numero dei decisori: chi decide la soluzione al problema.
• Numero degli obiettivi: in base a quali criteri è decisa la soluzione del problema.
• Grado di incertezza dei dati: con quali (quantitativamente e qualitativamente) informazioni si decide la soluzione del problema.

Sulla base di queste caratteristiche diverse sono le scienze e le tecniche che si prefiggono di studiare e risolvere il problema:

• Programmazione matematica: un decisore, un obiettivo.
• Programmazione multi-obiettivo: più obiettivi.
• Teoria dei giochi: più decisori.
• Programmazione stocastica: grado di incertezza dei dati maggiore di zero.

Classici esempi di problemi decisionali sono:

• Assegnamento e distribuzione di risorse limitate;
• Progettazione di reti;
• Ricerca di cammini minimi.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della decisione § Formalizzazione di un problema di decisione in condizioni di incertezza.

Un problema di decisione è definito dalla sua forma canonica, ossia la quadrupla ${\displaystyle (\Omega ,\Delta ,W_{\delta }(\omega ),K)}$ dove ${\displaystyle \Omega }$ indica lo spazio degli stati di natura, ${\displaystyle \Delta }$ lo spazio delle decisioni, ${\displaystyle W_{\delta }(\omega )}$ la funzione di perdita e ${\displaystyle K}$ un criterio di ottimalità. In particolare, se si adotta un'impostazione bayesiana della teoria della decisione, ${\displaystyle \Omega }$ è sostituito dal corrispondente spazio di probabilità.

Una volta posto in forma canonica, allora tale problema è risolvibile come un problema di ottimizzazione: va cercato ${\displaystyle \min _{\delta \in \Delta }K(W_{\delta })}$.

Normalmente, si dota ${\displaystyle \Delta }$ di un preordinamento ponendo che ${\displaystyle \delta _{1}\succeq \delta _{2}$ se ${\displaystyle W_{\delta _{1}(\omega )\leq W_{\delta _{2}(\omega )}$ per ogni ${\displaystyle \omega \in \Omega }$. Si dice in tal caso che ${\displaystyle \delta _{1}$ è debolmente preferibile rispetto a ${\displaystyle \delta _{2}$, o che la domina debolmente. Notare che l'uso di un preordinamento anziché di un vero e proprio ordinamento è giustificato dal fatto che possono esistere decisioni distinte con funzioni di perdita coincidenti.

Di solito si affianca a questa un'altra relazione, ossia ${\displaystyle \succ }$, dove ${\displaystyle \delta _{1}\succ \delta _{2}$ se ${\displaystyle W_{\delta _{1}\leq W_{\delta _{2},W_{\delta _{1}\neq W_{\delta _{2}$; si dice allora che ${\displaystyle \delta _{1}$ è strettamente preferibile a ${\displaystyle \delta _{2}$ o che lo domina strettamente. Tale definizione implica che la due funzioni di perdita ${\displaystyle W_{\delta _{1}$ e ${\displaystyle W_{\delta _{2}$ devono differire per almeno un punto ${\displaystyle \omega }$; una definizione alternativa è che ${\displaystyle \delta _{1}$ domina strettamente ${\displaystyle \delta _{2}$ se vale che ${\displaystyle \delta _{1}\succeq \delta _{2}$ ma non che ${\displaystyle \delta _{2}\succeq \delta _{1}$. È importante notare che questa relazione, non essendoci riflessività, non è un preordinamento.

Alcuni problemi decisionali possono essere definiti con una forma canonica leggermente diversa, ${\displaystyle (\Omega _{\delta },\Delta ,W_{\delta },K)}$, qualora lo spazio degli stati di natura dipenda dalla decisione scelta.

• Matematica applicata
• Ricerca operativa

• Piccinato, Ludovico. Teoria delle decisioni statistiche. Springer, 2009.

• decisione, problema della, in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.
• (EN) decision problem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Decision Problem, su MathWorld, Wolfram Research.

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