Processo di nascita e morte

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico markoviano a tempo continuo su spazio degli stati l'insieme dei numeri naturali, che simula l'andamento di una popolazione i cui unici cambiamenti siano le nascite e le morti. In altre parole, se il processo si trova in uno stato n, può solamente passare o allo stato n+1 (nascita) o allo stato n-1 (morte). I processi di nascita e morte hanno importanti applicazioni in biologia, teoria delle code, demografia.

Definizione

Un processo di nascita e morte è un processo stocastico su ${\displaystyle \mathbb {N} }$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• Gli incrementi sono indipendenti, ovvero la quantità di passaggi di stato in intervalli disgiunti sono indipendenti tra loro.
• Se il processo si trova in n, la probabilità di una nascita in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda _{n}h+o(h)}$

• Se il processo si trova in n>0, la probabilità di una morte in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, ovvero per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=-1)=\mu _{n}h+o(h)}$

• Se il processo si trova in n, la probabilità che il processo si allontani per più di due stati è trascurabile, ovvero, per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (|N_{t+h}-N_{t}|\geq 2)=o(h)}$

Le quantità λ_n e μ_n sono i coefficienti di natalità e di mortalità.

Proprietà

• Il processo soddisfa la proprietà di Markov
• Il processo soddisfa la proprietà di Markov forte
• La probabilità che il processo resti nello stesso stato in un piccolo intervallo di tempo è data da, per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=0)=1-(\mu _{n}+\lambda _{n})h+o(h)}$

• Il tempo di attesa tra un passaggio di stato e il successivo ha legge esponenziale di parametro (λ_n + μ_n)
• Il processo di Poisson è un caso particolare di processo di nascita e morte nel caso in cui μ_n=0 e λ_n=λ per ogni n

Bibliografia

• Samuel Karlin e Howard M. Taylor, A first course in stochastic processes, Academic Press, 1975.

Voci correlate

• Teoria delle code
• Processo stocastico
• Processo markoviano

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