Punto di equilibrio iperbolico

In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

${\displaystyle {\dot {x}=f(x)}$

è un punto di equilibrio ${\displaystyle x_{0}$ tale per cui, se:

${\displaystyle {\dot {u}=Df(x_{0})u}$

è la linearizzazione del sistema in un intorno di ${\displaystyle x_{0}$, nessuno degli autovalori della matrice ${\displaystyle Df(x_{0})}$ ha parte reale nulla.^[1]

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Sia ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ un campo vettoriale di classe ${\displaystyle C^{1}$ con un punto di equilibrio (anche detto punto critico) ${\displaystyle p}$, ovvero un punto tale che:

${\displaystyle F(p)=0}$

Sia ${\displaystyle J_{F}(p)}$ la matrice Jacobiana di ${\displaystyle F}$ al punto ${\displaystyle p}$. Se ${\displaystyle J_{F}(p)}$ non ha autovalori con parte reale nulla, allora ${\displaystyle p}$ è iperbolico.^[2]

Una soluzione ${\displaystyle \phi _{t}(x_{0})}$ dell'equazione ${\displaystyle {\dot {x}=f(x)}$ che definisce il sistema (in generale non lineare), con ${\displaystyle f\in C^{1}$, è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale ${\displaystyle x_{0}$. Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per ${\displaystyle x_{0}$. Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo ${\displaystyle H}$ che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

${\displaystyle H\circ \phi _{t}(x_{0})=e^{At}H(x_{0})}$

Si consideri il seguente sistema non lineare:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}=y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}=-x-x^{3}-\alpha y\qquad \alpha \neq 0}$

Il punto ${\displaystyle (0,0)}$ è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

${\displaystyle J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}$

Gli autovalori della matrice sono:

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}{2}$

e hanno parte reale non nulla per ${\displaystyle \alpha \neq 0}$. Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di ${\displaystyle (0,0)}$. Quando ${\displaystyle \alpha =0}$, il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in ${\displaystyle (0,0)}$.

• (EN) Edward Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1994.
• (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico lineare
• Teorema di Hartman-Grobman
• Varietà centrale

• Scholarpedia curata da Eugene M. Izhikevich.

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