Relazione (matematica)

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In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

Definizione

Relazione tra due insiemi

Una relazione tra due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, ${\displaystyle R\subset A\times B}$.

Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

${\displaystyle (a,b)\in R}$

${\displaystyle R(a,b)}$

${\displaystyle aRb}$

e quando sono verificate si dice che ${\displaystyle a}$ è in relazione con ${\displaystyle b}$ (secondo la relazione ${\displaystyle R}$).

Relazioni tra n insiemi

Una relazione tra n insiemi ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano ${\displaystyle S_{1}\times \ldots \times S_{n}$, ovvero un insieme di n-uple ordinate ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$. È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in R}$

${\displaystyle R(s_{1},\ldots ,s_{n}).}$

Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi ${\displaystyle {\mathcal {F}=\{S_{i}\}_{i\in I}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}$.

Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme ${\displaystyle A}$ (anche detta una relazione unaria o proprietà):

${\displaystyle R=\{a\in A\mid R(a)\}.}$

L'insieme ${\displaystyle R}$ è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad ${\displaystyle R}$.

Proprietà

Si dice che una relazione binaria ${\displaystyle R\subset A\times A}$ è una relazione di equivalenza, o più semplicemente un'equivalenza, se è:

• Riflessiva: ${\displaystyle \forall a\in A,\ aRa.}$
• Simmetrica: ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ aRb\Rightarrow bRa.}$
• Transitiva: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc.}$

Si dice che ${\displaystyle R}$ è una relazione d'ordine, o più semplicemente un ordine, se è:

• Riflessiva: ${\displaystyle \forall a\in A,\ aRa.}$
• Antisimmetrica: ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b.}$
• Transitiva: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc.}$

In più è totale se vale la linearità o totalità:

• Totalità: ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ aRb\vee bRa}$.

Esempi

• L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali

${\displaystyle R=\{(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid a>b\},}$

ossia ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ è in relazione maggiore con ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ quando ${\displaystyle a>b}$ (cioè ${\displaystyle aRb}$).

• Sui numeri naturali, la differenza ${\displaystyle a-b=c}$ mette in relazione triple ${\displaystyle (a,b,c)}$ secondo

${\displaystyle R=\{(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\mid a-b=c\}.}$

• Ogni funzione ${\displaystyle f\colon A\to B}$ è una relazione

${\displaystyle R_{f}=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}$

e può essere identificata con il suo grafico.

• Su numeri reali la positività (${\displaystyle x\geqslant 0}$) è una relazione:

${\displaystyle R=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geqslant 0\}.}$

• Una relazione di equivalenza è una relazione.

Applicazioni

Informatica

Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:

• nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità;
• nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (in inglese t-uples).

Voci correlate

• Ennupla
• Prodotto cartesiano
• Proprietà (matematica)
• Relazione binaria
• Relazione d'ordine
• Relazione di equivalenza
• Funzione (matematica)
• Funzione polidroma
• Algebra relazionale
• Modello relazionale

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «relazione»
• Wikiversità contiene risorse sulla relazione
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla relazione

Collegamenti esterni

• relazióne (matematica), su sapere.it, De Agostini.
• Relazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Relation, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Relation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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